Оскільки для четвертого рядка матриці F +
min(70; 50; 45) = 45 > 40 = to, то l4 = 1.
Скориставшись тепер операцією згортання Гурвіца  (операцією переходу від матриці F+ до відповідних l-оцінок Гурвіца G+(xk; lk)), отримуємо:
Оскільки згідно з критерієм Гурвіца (у випадку, коли F = F +) оптимальному рішенню відповідає максимальний елемент стовпчика G +, то таким рішенням є х4.-
Приклад 8.17.Скористаємося умовою прикладу 8.16. Але, на відміну від нього, функцію корисності вважатимемо невідомою. Несхильність до ризику інвестора виражається тим, що обраний ним коефіцієнт несхильності до ризику l є [0,6; 0,8]. Необхідно обрати варіант рішення, який був би оптимальним:
а) з точки зору накладених умов;
б) з урахуванням матриці ризику (невикористаних можливостей).
Розв’язання. а) Оскільки функціонал оцінювання містить позитивний інгредієнт, то l-оцінки Гурвіца обчислюються за формулою:
 .
Якщо до матриці F + застосувати операцію згортання Гурвіца  з довільним параметром l, то отримуємо:
У системі координат (l; y) побудуємо ламану Гурвіца [2,3] (рис. 8.2).
Рис. 8.2. Визначення оптимального рішення за допомогою
ламаної Гурвіца (F = F+)
Згідно з означенням ламана Гурвіца задається співвідношенням
 ,
а тому на рис. 8.2 її графічним відображенням є ламана лінія АВС. Оскільки лінії G+(x1;l) та G+(x2;l) лежать під ламаною АВС, то рішення х1 та х2 до уваги можна не приймати. При lє[0;l0] більших значень набирає функція G+(x3;l), а тому для цих значень параметра l розв’язок x3 є більш пріоритетним, ніж х4. При lє[l0;1] величина G+(x4;l)>G+(x3;l), тобто для цих значень l пріоритетнішим є розв’язок х4. Значення l0 знаходимо з умови: G+(x4; l) = G+(x3; l) ? (1 – l0)?80 + l0?25 = (1 – l0)?70 + l0?45 ? l0= 1/3.
Оскільки згідно з умовою несхильність до ризику інвестора адекватна тому, що lє[0,6; 0,8], то, як це видно з рис.8.2, оптимальним слід вважати рішення х4.
б) Від заданого функціонала оцінювання F + перейдемо до матриці ризику :
 .
Оскільки матриця  має негативний інгредієнт, то для неї
l-оцінки Гурвіца обчислюються за формулою:
 .
А тому, якщо до матриці  застосувати операцію згортання  , то отримуємо:
На рис. 8.3 побудована відповідна ламана Гурвіца.
У випадку, коли функціонал оцінювання містить негативний інгредієнт (в даному випадку роль функціонала оцінювання відіграє матриця  ), ламана Гурвіца задається співвідношенням:
а тому на рис. 8.3 її графічним відображенням є відрізок ОА прямої лінії.
Рис. 8.3. Визначення оптимального рішення за допомогою
ламаної Гурвіца 
Як бачимо, виходячи з позицій найкращого використання своїх можливостей, найвищий пріоритет має рішення х4.-
8.4.6.2. Модифіковані критерії
Згідно з модифікованими критеріями у випадку, коли F = F , оптимальним є рішення
 ,
або ж у випадку, коли F = F , рішення
 ,
де  ;  , а в якості величини  можна використати або середньоквадратичне  , або семіквадратичне  відхилення або ж будь-який інший співрозмірний з  вимірювач ризику. Параметр  , який використовується у зазначених вище критеріях, можна трактувати як коефіцієнт несхильності СК до ризику.
8.4.6.3. Критерій Ходжеса-Лемана
Ходжес та Леман стоять на тій точці зору, що в практиці прийняття рішень в умовах невизначеності інформація про стан ЕС знаходиться між повним незнанням та точним знанням апріорного розподілу.
Критерій Ходжеса-Лемана дає змогу використовувати всю інформацію, що її має суб’єкт управління, але в той же час забезпечує заданий рівень гарантії у випадку, коли ця інформація неточна. У деякому плані критерій Ходжеса-Лемана являє собою «суміш» критеріїв Байєса та Вальда.
Згідно з критерієм Ходжеса-Лемана у випадку, коли F = F+, оптимальним є рішення
 ,
де
Якщо ж  , то оптимальним рішенням є
де
Як і раніше, параметр lI[0,1], і його можна інтерпретувати як коефіцієнт несхильності до ризику.
8.4.7. Критерій Парето
Розглянемо функціонал оцінювання F, побудований з позиції m альтернативних рішень  та n можливих станів ЕС  ,  . Кожному рішенню  відповідає свій вектор оцінювання  , а тому при порівнянні різних рішень порівнюються відповідні елементи векторів оцінювання.
8.4.7.1. Оптимальність за Парето
Згідно з Парето рішення  вважається не гіршим від рішення  (позначається:    ), якщо для всіх елементів відповідних їм векторів Fk та  мають місце оцінки  якщо F = F чи  , якщо F=F .
Якщо хоча б для однієї компоненти  вектора  має місце строга нерівність  (F = F+) чи  (F = F ), то рішення  вважається кращим за рішення  (записується  ).
Рішення  є оптимальним за Парето, якщо в множині Х не знайдеться рішення, краще від  .
Приклад 8.18. Фруктовий дилер (приклад 8.2) з урахуванням прогнозованої спеки відкоригував ФО, виходячи з тих міркувань, що під кінець дня певна кількість малини стане непридатною до продажу:
 .
Знайти рішення, оптимальне за Парето.
Розв’язання. Оскільки рішення  та  , то оптимальним за Парето є рішення  (5 кошиків).-
8.4.7.2. Множина Парето
Рішення  називається покращуваним, якщо існує рішення  таке, що  .
На практиці ситуація, коли рішення, що приймається, буде оптимальним за Парето, є досить рідкісним явищем (про це свідчать навіть функціонал оцінювання F та матриця ризику R задачі 8.2 про фруктового дилера).
У разі відсутності рішення, оптимального за Парето, утворюють множину непокращуваних за Парето рішень  . Тоді оптимальне рішення доцільно шукати у множині Парето  , використовуючи при цьому критерії, адекватні ситуації прийняття рішень.
Приклад 8.19.Перед самим початком «малинового» сезону фруктовий дилер, враховуючи реальні обставини, скоригував ФО прикладу 8.18:
F = .
Знайти оптимальне рішення.
Розв’язання. Згідно з умовою рішення  і при цьому рішення  та  не покращуються, тобто  . Оскільки в умові прикладу відсутня інформація щодо розподілу ймовірностей станів ЕС, то можна вважати, що має місце четверта або п’ята ІС.
У випадку І4 маємо  . Тоді згідно з критерієм Байєса  ;   . Оскільки  , то використаємо ще один критерій, наприклад — мінімальної семіваріації. Маємо:
а тому можна зробити висновок, що оптимальним є рішення  .
У випадку ситуації  , розглядаючи функціонал оцінювання  , складений з векторів оцінювання  та 
 ,
переконуємось, що розв’язок x2 (5 кошиків) є оптимальним згідно з критеріями Вальда та Севіджа.-
8.4.7.3. g-надійна множина Парето
Якщо при відомому розподілі ймовірностей станів ЕС знехтувати «хвостами» розподілу, тобто не розглядати ті стани ЕС, сума ймовірностей настання яких є меншою за величину  , то приходимо до ФО  , який, до певної міри, враховує елементи функціонала F, що відповідають «хвостам» розподілу:
 ,
де
 ;  ;
 ;
 ,
і при цьому
  ;
 ;  ;
 , k = 1, ..., m.
Перехід до  дозволяє (іноді — суттєво) «звузити» множину Парето для функціонала оцінювання F.
8.4.7.4. Зважений функціонал оцінювання
На практиці (наприклад, у страховому менеджменті) виникає ситуація, коли кожному рішенню  відповідає свій розподіл ймовірностей станів ЕС
 ;  ,  .
А тому в основі процедури прийняття рішення вже лежить аналіз двох матриць:
 
 ;  .
Розв’язання цієї задачі можна звести до аналізу зваженого функціонала оцінювання FQ :
 .
Що стосується функціонала FQ, то прийняття рішення на його основі можна здійснювати як за допомогою критерію Парето, так і будь-якого іншого критерію оптимальності.
|
