лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

АНАЛІЗ, МОДЕЛЮВАННЯ ТА УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІЧНИМ РИЗИКОМ

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

7.8.3.1. Задача збереження капіталу


Сутність її полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб ризик цього портфеля був мінімальним. Формальна постановка цієї задачі така:
;

Розв’язку задачі відповідає точка О* на рис. 7.6. Метод знаходження структури ПЦП, що задовольняє умову поставленої задачі, базується на побудові та знаходженні точки мінімуму відповідної функції Лагранжа, яке, в свою чергу, зводиться до розв’язання наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь [4]:
      (7.9)
Тут l — додаткова змінна (невідома величина) поява якої спричинена використанням методу Лагранжа.
Слід мати на увазі, що метод Лагранжа, запропонований для розв’язання поставленої задачі, не враховує обмежень щодо невід’ємності величин xk, тобто що xk ? 0; k = 1, ..., N. А тому розв’язок системи (7.9) необхідно проаналізувати з цієї позиції.
Позначимо через Х* = {x1*; x2*;…; xN*} розв’язок системи (7.9). Якщо всі компоненти вектора Х* є додатними (xk0, k = 1, ..., N) то цей вектор описує структуру оптимального ПЦП, що відповідає точці О*(рис.7.6).
Якщо серед компонент Х* виявляться від’ємні, то в шуканий ПЦП не включається той ЦП, частка якого є від’ємною і найменшою серед отриманих від’ємних часток. Після вилучення цього ЦП знову розраховується структура оптимального ПЦП, складеного з (N – 1) ЦП. Процес вилучення такого роду «несприятливих» ЦП продовжується до тих пір, поки частки всіх ЦП, включених у портфель, не стануть позитивними.

Рис. 7.6. Геометрична інтерпретація задач
щодо формування різних видів ПЦП
Приклад 7.8.Сподівані норми прибутку акцій виду A1, A2, A3та A4 становлять відповідно 60%, 50%, 40% та 70%. Ризики цих акцій становлять 40%, 30%, 25% та 50%. Тісноту зв’язку між нормами прибутку цих акцій відображають коефіцієнти кореляції r12 = 0.2; r13 = – 0,3; r23 = – 0,5; r14 = 0,9; r24 = 0,7; r34 = – 0,3.

!

  

Необхідно сформувати з цих акцій ПЦП, що має мінімальний ризик. Оцінити його сподівану норму прибутку та його ризик.
Розв’язання.Згідно з умовою задачі

Згідно з (7.9) отримуємо систему рівнянь:
.
Розв’язавши отриману систему рівнянь, знаходимо: х1 = 2,412; х2 = 1,768; х3 = – 0,402; х4 = – 2,778. Оскільки х4 = – 2,778є найменшим від’ємним числом, то надалі акцію виду А4 в ПЦП не включаємо. Для акцій виду А1, А2 та А3 складаємо нову систему рівнянь:
 .
Згідно з останньою системою рівнянь отримуємо, що х1 = 0,1392; х2 = 0,3453; х3 = 0,5155.
Тоді величина сподіваної норми прибутку ПЦП
mП* = x1m1+ x2m2 + x3m346,237,
а мінімальна величина ризику серед усіх ПЦП, сформованих з ЦП виду А1, А2 та А3, становить
-
Зауваження 7.2. Якщо ввести позначення
;                  ;         ,
то систему рівнянь (7.9) можна записати у матричному вигляді:
.
Тоді розв’язок системи (7.9) здійснюється згідно з формулою:
.


7.8.3.2. Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку


Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб сподівана норма прибутку цього портфеля була не меншою від зафіксованого рівня mc (mc = const) і його ризик при цьому був мінімальним. Формально цю задачу запишемо у вигляді таких спів­відношень:

Розв’язку задачі одержання прибутку відповідає точка «К» на рис.7.6. Для знаходження структури ПЦП, що задовольняє умовам поставленої задачі, як і раніше, скористаємось методом Лагранжа [4], який зводиться до знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
,      (7.10)
де l1,l2 — додаткові змінні (невідомі величини), поява яких спричинена використанням методу Лагранжа.

!

 

Приклад 7.9.З акцій виду А1, А2  та А3, описаних в умові прикладу 7.8, сформувати ПЦП, сподівана норма прибутку якого становила б mc = 50% і при цьому ризик портфеля був би мінімальним. Обчислити величину його ризику.
Розв’язання. Згідно з (7.10) отримуємо систему рівнянь:
.
Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що х1= 0,402; х2 = 0,196; х3 = 0,402.
Сподівана норма прибутку сформованого ПЦП
mП = 0,402 ? 60 + 0,196 ? 50 + 0,402 ? 40 = 50 = mc,
а його ризик

Як бачимо, що якби ПЦП був сформований лише з акцій виду А2, то його сподівана норма прибутку була б рівною mc = 50%, але ризик його в такому випадку становив би sП = 30%, тобто був би більшим майже в два рази.-


7.8.3.3. Задача забезпечення приросту капіталу

Сутність її полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб його ризик не перевищував заданого фіксованого рівня sc(sc = const) і при цьому досягалась максимальна за величиною сподівана норма прибутку. Формальна постановка задачі така:
.
Розв’язанню задачі забезпечення приросту капіталу відповідає точка «L» на рис7.6. Для знаходження структури ПЦП, що задовольняє умовам поставленої задачі, знову скористаємось методом Лагранжа, який зводиться до розв’язання системи нелінійних алгебраїчних рівнянь:
.          (7.11)
Поділимо праві та ліві частини перших (N + 1) рівнянь на l1 і, поклавши z1 = – 1/l1, z2 = l2/l1, розглянемо систему з (N + 1) лінійних рівнянь з (N + 1)невідомим:
.       (7.12)
Позначивши через А матрицю коефіцієнтів системи (7.12) і поклавши
; ; ,
знаходимо розв’язок системи (7.12) у такому вигляді:
.                                   (7.13)
Якщо тепер покласти
; ,
то частку акції виду Ak в портфелі можна обчислити за формулою:
.                      (7.14)
Значення величини z1 знаходимо як розв’язок квадратного рівняння, яке отримуємо після підстановки величин xk, заданих згідно з (7.14), в (N+2)-ге (останнє) рівняння системи (7.11). При цьому обирається той розв’язок квадратного рівняння (щодо z1), який забезпечує більше значення сподіваній нормі прибутку портфеля цінних паперів.

!

 Приклад 7.10.З акцій виду А1, А2та А3, описаних в прикладі 7.8, сформувати ПЦП, ризик якого складав би s20% при максимально можливій сподіваній нормі прибутку портфеля.
Розв’язання. Згідно з (7.11) отримуємо систему нелінійних алгебраїчних рівнянь:
(7.15)
Поділивши праву та ліву частини перших чотирьох рівнянь системи (7.15) на l1 і поклавши z1 = – 1/l1, z2 = l2/l1, приходимо до системи чотирьох лінійних рівнянь:
.
Згідно з (7.13) отримуємо, що

 .
Підставляючи отримані вирази для x1, x2, x3 у п’яте рівняння системи (7.15), приходимо до квадратного рівняння відносно z1:
0.0353 z12 + 2.6572 z1 – 248.7813 = 0,               (7.16)
звідки z1? = – 83.9846  – 84; z1?? 83.9151  84.
Для кореня z1? 84 отримуємо, що x1 = 0,4500; x2 = 0.3202; x3 = 0.2298. Для кореня z1?? =  84 маємо, що значення x1 =
=
  0.1716 < 0, тобто корінь z1?? квадратного рівняння (7.16) нас не задовольняє.
Виходячи із знайдених часток акцій А1, А2 та А3, отримуємо, що сформований ПЦП має ризик:
.
Його сподівана (максимально можлива при накладених умовах) норма прибутку
.-

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2018 BPK Group.