АНАЛІЗ, МОДЕЛЮВАННЯ ТА УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІЧНИМ РИЗИКОМ

7.8.2. Портфель з двох видів цінних паперів

Нехай х1 та х2 частки інвестицій у ЦП виду А1 та А2, що складають портфель. Тоді, враховуючи що N = 2, отримуємо:





З урахуванням того, що х2 = 1 – х1, отримуємо:
    (7.5)
тобто цільова функція VП є функцією однієї змінної х1, а саме — параболою 2-го порядку. Оскільки х1 I [0; 1], то для всіх значень параметрів s1, s2 і r12 ця парабола проходить через точки А1(1; ) та А2(0; ), які відповідають однорідним ПЦП, складеним, відповідно, з ЦП виду А1 та виду А2.
Оскільки коефіцієнт кореляції r12 приймає значення з проміжку [– 1; 1], то величина 1 – r12 ? 0. А тому коефіцієнт при  для функції VП

тобто парабола (7.5) є опуклою вниз і досягає свого мінімального значення у вершині . Функція VП згідно зі своєю побудовою може набувати лише невід’ємних значень, а тому приходимо до висновку, що в системі координат (х1; VП) вся парабола (7.5) лежить над віссю абсцис (рис.7.3).
Надалі для визначеності щодо акцій виду A1 та A2 будемо вважати, що мають місце співвідношення:
М(R1) = m1 > m2 = М(R2);
s(R1) = s1 > s2 = s(R2).
Координати вершини параболи  обчислюються за фор­мулами [4]:
;(7.6)
                    (7.7)
Згідно з системою рівнянь

отримуємо, що
.
Тоді
.  (7.8)
Отже, зв’язок між ризиком ПЦП VП та його сподіваною нормою прибутку mП також описується параболою другого порядку, і при цьому коефіцієнт при (mП)2 також набуває невід’ємного значення.
Легко переконатись, що графік функції (7.8) проходить через точки А1(m1; ) та А2(m2; ) (рис. 7.4).

Вершина параболи (7.8) має вершину , де
,
а значення  обчислюється згідно з (7.7).
Сутність ефекту від диверсифікації при побудові ПЦП полягає в тому,що збільшення сподіваної норми прибутку mП (починаючи з мінімально можливого допустимого значення) може привести (на певному етапі) до зменшення ризику VП цього портфеля.
Згідно з рис.7.4. при збільшенні mП від значення m2 до mП* величина ризику ПЦП зменшується від  до  = ()2. Подальше збільшення mП (від  до m1) призводить до збільшення величини ризику портфеля (від ()2 до ). Отже, диверсифікація буде ефективною лише в тому разі, коли абсциса  вершини О* параболи (7.8) буде належати проміжку [m2; m1] і, відповідно, абсциса  вершини О* параболи (7.5) — проміжку (0; 1).
Оскільки , то з (7.6) випливає, що , тобто що r12 I [– 1; s2/s1). А тому можна зробити наступний висновок: для ПЦП, складеного з двох видів ЦП, диверсифікація дає ефективний результат щодо зменшення величини ризику лише в тому разі, коли коефіцієнт кореляції для норм прибутку цих ЦП r12 I [–1;r?), де r? = .
Приклад 7.6.Сподівана норма прибутку акцій виду А1 становить 60%, ризик цих акцій (середньоквадратчне відхилення) — 20%. Для акцій виду А2 відповідно сподівана норма прибутку — 40%, ризик — 15%. Коефіцієнт кореляції для цих акцій r12 = 0,35. На основі цих акцій створюється ПЦП. Необхідно:

• обчислити сподівану норму прибутку та ризик ПЦП, якщо акції виду А1 складають 20% вартості цього портфеля;
• обчислити сподівану норму прибутку та ризик ПЦП, якщо акції виду А1 складають 80% вартості ПЦП;

!

 

Розв’язання. а) Скориставшись тим, що
,
  отримуємо систему рівнянь:
.
  Розв’язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що x1 = 0,5, x2 = 0,5,
.
  б) Скориставшись тим, що
,
  отримуємо систему рівнянь
.
  Ця система рівнянь зводиться до квадратного рівняння:
  415 x12 – 240 x1 – 31 = 0,
  яке має корені x? = – 0,109 та x?? = 0,687. Оскільки x? < 0, то в ПЦП частка ЦП виду A1 становить x1 = x?? = 0,687, виду A2 — x2 = 1 –
  – x?? = 0,313.
  Сподівана норма прибутку отриманого ПЦП становить
mП = x1m1 + x2m2 = 0,69 ? 60 = 0,31 ? 40 = 53,84(%).-

  7.8.3. Портфель з багатьох видів цінних паперів

Перейдемо тепер до загального випадку, коли до складу ПЦП залучено N (N > 2) різних акцій.
Розглянемо, наприклад, три акції, що мають норми прибутку відповідно 15%, 10%, 5%, середньоквадратичні відхилення 10%, 7%, 3% і коефіцієнти кореляції r23 = – 0,2; r12 = – 0,4; r13 = + 0,6. У системі координат mП – sП (норма прибутку — ризик, рис.7.5) побудуємо точки А1, А2, А3, що відповідають однорідним ПЦП, сформованим з відповідних акцій. На цьому ж рисунку побудуємо лінії (дуги), що відповідають ПЦП, сформованому з двох видів акцій (EА3А1;  EА3А2;  EА2А1).

Рис. 7.5. Множина допустимих портфелів цінних паперів
Точкам К I E А3А2 та L I E А2А1відповідають певні ПЦП, cформовані з двох (відповідно А3, А2та А2, А1) видів акцій. Для цих портфелів можна розрахувати норми прибутку і ризики. Вважатимемо тепер, що кожний з цих портфелів є певного виду «цінним папером» відповідно К та L. А тому, в свою чергу, можна сформувати новий ПЦП для ЦП К та L. Такі ПЦП вже будуть включати по три акції (А1, А2, А3) і їм відповідає дуга EКL.
Міркуючи таким чином, приходимо до висновку, що кожна точка, яка належить до заштрихованої області (рис. 7.5), відповідає деякому ПЦП, сформованому з трьох видів акцій.
Допустимою множиною ПЦП називається область, точки якої характеризують ступінь ризику та норму прибутку портфеля за всіх можливих часток окремих акцій в портфелі (на рис. 7.5 — це область, обмежена жирною лінією.),
Особливістю дуги EО*А1, яка належить допустимій множині, є те, що для будь-якої точки цієї дуги не можна вказати іншої точки допустимої області, для якої ПЦП був би кращим.
Ефективною множиною ПЦП  називаються ті портфелі, що відповідають точкам дуги EО*А1. Тобто ефективним портфелем вважається такий, для якого в допустимій множині ПЦП не можна  вказати іншого портфеля:

• з тим же значенням величини сподіваної норми прибутку і меншим ступенем ризику;
• з тим же значенням величини ризику і більшим значенням сподіваної норми прибутку.

Очевидно, що для ПЦП, складених з двох акцій, допустима множина збігається з множиною ефективних портфелів, і вони складають дугу EО*А1 (рис. 7.4).
Розглянемо тепер загальний випадок побудови ПЦП, сформованого з N ЦП. Як і раніше, позначимо через Rk, mk = M(Rk), sk — відповідно норму прибутку, сподівану норму прибутку та ризик k-го ЦП, k = 1, ..., N; через rkj — коефіцієнт кореляції між k-тим та j-тим видом ЦП.