лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

АНАЛІЗ, МОДЕЛЮВАННЯ ТА УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІЧНИМ РИЗИКОМ

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Розділ 4

Ризик та елементи теорії корисності

4.1. Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення


Для задач прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику принцип оптимальності нерідко будується у вигляді функції корисності.
Корисність виражає ступінь задоволення, яке одержує суб’єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.
Концепція функції корисності дає змогу здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів, взагалі кажучи, фізично неспіввимірних.
Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, одержуючи речі, які приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритети при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг.
Співвимірність цінних паперів, які також є товаром, на перший погляд, простіше здійснити, оскільки усі вони мають ціну. Але ризиковані цінні папери — це документи, котрі засвідчують можливість одержання грошей у майбутньому, і тут співвимірність проблематична: не можна сказати, яка з випадкових величин, що відображає ефективність (норму доходу) кожного з цінних паперів, буде більшою чи меншою, а отже, не можна сказати, який з цінних паперів чи який портфель цінних паперів є пріоритетнішим.
Встановлення будь-якої міри ризику є спробою подолати цю проблему, характеризуючи випадкову величину одним показником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у вигляді сподіваного значення такої функції. Природно, що будь-які підходи такого роду є суб’єктивними, але без них не обійтися, якщо намагатися ввести певну єдину міру ризику.
У теорії корисності широке застосування має таке поняття, як пріоритет.
Позначимо співвідношення «пріоритетніше, ніж» «байдуже», «не гірше, ніж» відповідно символами f, ~, .
Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше, ніж» є одним із основних найпростіших понять. Запис f y, де х та у є набором товарів чи послуг (точками простору Х), означає, що певний суб’єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим, ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірше, ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х ~ у) тоді і лише тоді , коли
х  y  та  у  x .
Коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х f y), то це відбувається тоді, коли х не гірше за у, а у гірше за х. Тобто, х f y тоді і лише тоді, коли х  y і при цьому твердження, що у  x, є несправедливим.
У [2,3,5] на базі введених аксіом щодо нестрогого співвідношення пріоритетності (аксіом щодо досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності) доведене існування неперервної дійсної функції U(x), визначеної на елементах множини Х, яку називають функцією корисності і для якої U(x) > U(y), якщо х f у.
Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, що його одержує особа від споживання додаткової кількості товару.
Приклад, у якому висвітлюється процес побудови функції корисності на базі експертної інформації, наведено в [2, 3, 9].


4.2. Корисність за Нейманом
4.2.1. Поняття лотереї


Для визначення корисності розглядається вибір особи в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.
Для цього необхідно з множини Х пред’явлених експертам значень певного економічного показника (об’єкта) виділити два значення х* та х* таких, що х  х* та х  х* для всіх х Х, тобто найменш пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показ­ника (це буде «нуль» даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне, в певному сенсі, значення показника (разом з «нулем» вони визначають масштаб даної шкали). Власне, так побудована функція корисності Дж. ф. Неймана і О.Моргенштерна. Експерту пропонують порівняти між собою дві альтернативи:
1) значення показника х;
2) лотерею: одержати х* з імовірністю 1 – р чи х* з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(х*, p, x*) не стануть еквівалентними, тобто x ~ L(х*, p, х*).
Максимальному й мінімальному значенням х* та х* приписують довільні числові значення U*= U(х*) та U* = U(x*), але так, щоб U* > U*.
Під лотереєю L(x*, p(x), x*)розуміють ситуацію, у якій особа може отримати х* з імовірністю р(х) або х* з імовірністю
– р(х). (Часто використовують запис: L(x*, p(x); x*, q(x)), де q(х1 – р(х)).
За Нейманом корисність варіанта х визначається ймовірністю U(х) = р(х),при якій особі байдуже, що обирати: х — гарантовано, чи лотерею L(х*, р(х), х*), де х*, х* — вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.
Наприклад, у якості функції корисності можна брати функцію

бо для всіх x I [x*, x*] значення q(х) I [0; 1]. Оскільки при зростанні х від х* до х* значення q(х) будуть збільшуватися, то вибрана таким чином функція корисності буде зростаючою.
Якщо покласти

то в цьому випадку ми отримаємо спадаючу функцію корисності  (p(x) = 1 – q(x); p(x) I [0, 1] для x I [x*, х*]).
У якості функції корисності (згідно з Нейманом) можна використати функції розподілу ймовірностей:
U(x) = F(x) = P(X < x).
Hаприклад:


4.2.2. Сподівана корисність


Нехай L — лотерея, що приводить до виграшів (подій) x1, х2, ...., хn з відповідними ймовірностями p1, p2, ..., pn. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через  :

Справедлива основна формула теорії сподіваної корисності:

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.


4.2.3. Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума


Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику та їхнього взаємозв’язку з функціями корисності.
Детермінований еквівалент лотереї L — це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто  ~ L. Отже,  визначається з рівняння:
U() = M(U(Х)),  або  = U – 1(M(U(Х))),
де U – 1 (?) — функція, обернена до функції U(x).
Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, що їх визначено вище, стосуються лотереї із скінченним числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює:

а детермінований еквівалент  можна знайти із співвідношень:
.
Страховою сумою (СС)називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:
CC(Х) = –.
Якщо особа, яка приймає рішення, стикається з несприятливою для неї лотереєю (тобто лотереєю, яка менш пріоритетна, ніж стан, у якому вона перебуває), то природно запитати, скільки б вона заплатила (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участь у цій лотереї (уникнути її). Для визначення розмірів цього платежу вводиться до розгляду величина, яку називають премією за ризик.


4.2.4. Премія за ризик. Приклади


За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) p(Х) — це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (уступити її) з середнього виграшу (тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю.
Для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик p(Х) в лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом, тобто

!

 Приклад 4.1. Нехай U(x) = a + bx, b > 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю, що має щільність розподілу f(x). Необхідно відшукати сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик.
Розв’язання. Сподіваний виграш знаходимо за формулою :

Детермінований еквівалент  знаходимо з рівняння:
U() = M(U(Х)).
Оскільки , , то .
Отже, для лінійної функції корисності премія за ризик p(Х) = –
 = 
0.    
Приклад 4.2. Нехай U(x) = а – be–cx, де а 0, b > 0,> 0,? 0 (рис.4.1). Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x1, p; x2, q), p + q = 1. Відшукати сподіваний виграш  та детермінований еквівалент .
Розв’язання. Сподіваний виграш .
Детермінований еквівалент є розв’язком рівняння U() =
= M(U(Х)) або з рівнозначного рівняння:

Якщо покласти х1 = 80, х2 = 100, с = 2, р = 0,7, q = 0,3, то отримуємо:

Премія за ризик p(Х) = 86 – 80,2 = 5,8.-

Рис. 4.1. Графік функції корисності U(x)= a be– cx

Приклад 4.3. Нехай U(x) = a(x – c)2 + b> 0,  b ? 0,  c ? 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x1, p; x2, q), p +q = 1.

!

  Відшукати сподіваний виграш  та детермінований еквівалент .
Розв’язання. Як і раніше,  — сподіваний виграш. Детермінований еквівалент  є розв’язком рівняння:

Поклавши, як і в попередньому прикладі, х1 = 80, х2 = 100, c = 2, р = 0,7, q = 0,3, отримуємо:

Премія за ризик p(Х) = 86 – 86,5 = – 0,5.-
Слід зауважити, що згідно з основним положенням теорії корисності, суб’єкт керування, що приймає рішення в умовах невизначеності та породженого нею ризику, повинен максимізувати сподіване значення корисності результатів.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.