Прогнозування соціально-економічних процесів

2.3. Модель Солоу. Трисекторна модель
економічного зростання

• Модель Солоу також є односекторною моделлюекономічного зростання. Економічна система розглядається як єдине ціле, що виробляє один універсальний продукт, який можна споживати й інвестувати. Модель доволі адекватно відображає найважливіші макрекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт — імпорт у явному вигляді в ній не враховано.

Стан економіки в моделі Солоу визначають такі п’ять ендогенних змінних:
X — валовий внутрішній продукт (ВВП);
С — фонд невиробничого споживання;
І — інвестиції;
L — кількість зайнятих;
К — фонди.
Окрім того, в моделі використовують такі екзогенні показники (задані поза системою):
? — річний темп приросту кількості зайнятих;
? — частка основних виробничих фондів, що вибули за рік;
? — частка нагромадження (частка валових інвестицій у валовому внутрішньому продукті).
Екзогенні параметри перебувають у таких межах: –1 < ? < 1, 0 < ?< 1, 0 < ? < 1.
Припускається, що ендогенні змінні змінюються з часом (аргумент t пропущено, але він присутній за визначенням). Екзогенні показники вважаються постійними у часі, причому норма нагромадження є параметром управління, тобто в початковий момент часу може встановлюватися керівним органом системи з огляду на будь-яке гранично допустиме значення.
Час t вважається безперервним і вимірюється у роках. Для миттєвих значень показників L = L(t), К = K(t)в будь-який день можна з’ясувати кількість зайнятих і — шляхом інвентаризації — обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоків X = X(t), I = I(t), С = C(t)у момент t = [t] + {t} визначають у вигляді нагромаджених за рік, що починається на {t}днів пізніше 1 січня року [t].
Припускають, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією
X = F (K, L).                                  (2.1.21)
Згідно з визначенням темпу приросту
 або ,
тому
InL = ?t + lnA, L = Ae?t.
Використовуючи початкову умову L(0)= L0, одержуємо L = L0e?t.
Зношування та інвестиції в розрахунку на рік дорівнюють ?K та I відповідно, а за час ?t — становить відповідно ?K?t, I?t, тому приріст фондів за цей час дорівнюватиме ?К = – ?K?t + I?t, звідки маємо диференціальне рівняння:

Інвестиції та фонд споживання виражають через ВВП таким чином:
І = ?Х, С = (1 – ?)Х.
Отже, маємо такий запис моделі Солоу в абсолютних показниках:
L = L0e?t;;
K (0) = K0; Х = F (K, L); І = ?Х; С = (1 – ?)Х.       (2.1.22)
Оскільки
 
то запис моделі в питомій вазі показників набуває форми:

                             (2.1.23)
Отже, кожен абсолютний або відносний показник змінюється в часі, тобто можна говорити про траєкторію системи в абсолютних або відносних показниках.
Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники з часом не змінюються:
k = k0 = const, х = х0= const, I = I0 = const, с = с0 = const.
Як видно з формул (2.1.23), перебування фондоозброєності на постійному рівні kE приводить до виходу на стаціонарну траєкторію. На стаціонарній траєкторії , тому
,
або                                                                                          (2.1.24)
.
Якщо k0 = kE,то економіка, яка вже перебуває на стаціонарній траєкторії, може зійти з неї лише в разі зміни зовнішніх умов (встановлення іншого значення норми нагромадження, перехід до нових технологій зі зміною функції F(K, L)).
За k0 ? kE в економіці відбуватиметься перехідний процес, який завершиться встановленням стаціонарного режиму. У перехідному режимі фондоозброєність задовольняє рівнянню:
,                     (2.1.25)
причому  за та .
Диференціюванням (2.1.25) знаходимо
,                            (2.1.26)
звідки видно, що
а) за  <  маємо ,
б) за , навпаки, ,
в) за k > kE завжди > 0, оскільки  < kE.
Розглянемо перехідний процес для випадку, коли виробничу функ­цію описано функцією Кобба-Дугласа (2.1.7) .
Тоді   , а рівняння (2.1.25) набуває вигляду
                        (2.1.27)
Зробивши заміну , ,одержимо для и рівняння із розділеними змінними:
яке має такий розв’язок:
а з використанням значення стаціонарної фондоозброєності запишеться як:
u (t) = [(kE)1-?e(1-?)?t+ (k0)1-? – (kE)1-?]1/1-?.
Повертаючись до фондоозброєності, отримаємо
K(t) = [(kE)1-? + ((k0)1-? – (kE)1-?)e(1-?)?t]1/1-?,
звідки видно, що
Відповідно до (2.1.26) отримуємо три типи перехідного процесу стосовно фондоозброєності:
1) за  — спочатку відбувається пришвидшене зростання фондоозброєності, яке після досягнення значення k переходить на повільне зростання;
2) за < k0< kE спостерігаємовповільнене зростання фондо-
озброєності;
3) за k0 > kE — уповільнений спад фондоозброєності («проїдання» фондів).
Таким чином, за  < k0< kE існує зовсім короткий перехідний процес.
У реальній економіці освоєння капітальних вкладень відбувається із запізненням, тобто інвестиції перетворюються на фонди не миттєво, а впродовж певного часу.
Існують два підходи до моделювання запізнень. Перший полягає в тому, що запізнення відбувається із фіксованим лагом ?,тим самим введення фондів у момент t V(t)є просто інвестиціями, зробленими в момент t – ?, тобто
V(t) = I(t – ?).                                  (2.1.28)
Другий підхід полягає у використанні розподіленого лага. При цьому передбачають, що інвестиції, зроблені в момент ?обсягом I(?), на далі освоюватимуть поступово, частками, згідно з певним розподілом N(t, ?) > 0, причому . Оскільки інвестиції здійснюються не лише в якийсь фіксований момент часу, а взагалі в будь-який момент ?, то до часу t накопичується обсяг фондів, які підлягають введенню, а саме:
.                            (2.1.29)
Якщо процес інвестування та введення в дію має стаціонарний характер, тоді N(t, ?) = N (t – ?). Отже, (2.1.29) можна переписати таким чином:
.                        (2.1.30)
Далі приймаємо, що розподіл N(t – ?) є показниковим:
,
тому
.                       (2.1.31)
У результаті прямого диференціювання (2.1.31) маємо
                       (2.1.32)
Додаючи останнє рівняння до відповідним чином скоригованої системи рівнянь стандартної моделі Солоу, одержуємо односекторну модель економікиз урахуванням затримки введення фондів:
Х = I+ С;
X = F(K, L);
dK/dt = –?K + V, K(0) = K0;(2.1.33)
dV/dt = ?I – ?V;
L = L0 e?t.
Перше рівняння (2.1.33) — баланс розподілу ВВП на інвестиції та невиробниче споживання; друге — виробнича функція валового внутрішнього продукту залежно від ресурсів; третє — динаміка фондів залежно від зношування й уведення фондів; четверте — динаміка введення фондів із урахуванням інвестицій і затримки введення фондів; п’яте — динаміка трудових ресурсів.
Якщо, подібно до попередніх параграфів, вважати, що виробнича функція є лінійно-однорідною неокласичною, то рівняння (2.1.33) можна представити так: (i = I/L, c= C/L, f = F/L,? = V/L):
             (2.1.34)
Стаціонарна точка диференціальних рівнянь (2.1.34) задається такими алгебраїчними рівняннями:
.                       (2.1.35)
Розв’язавши цю систему рівнянь відносно ?E,отримаємо рівняння для kE,
– ??kE + ??f(kE) = 0.                        (2.1.36)
Якщо f?(0) = ?, f(k) > 0, f?(k) < 0,то (2.1.36) має один розв’язок (виключаючи тривіальний kE = 0).

• Трисекторна модель економічного зростання [34]. Економіку в моделі розподіляють на три сектори: матеріальний (нульовий) — виробляє предмети праці; фондоутворювальний (перший) — вироб­ництво засобів праці; споживчий (другий) сектор — виробництво предметів споживання.

Припускають, що за кожним сектором закріплено основні виробничі фонди (ОВФ), тоді як праця й інвестиції можуть вільно пересуватися між секторами.
Окрім того, застосовують припущення, аналогічні до зроблених в односекторній моделі Солоу, яка відіграє роль базової.
1. Технологічний устрій вважається сталим і визначається
за допомогою лінійно-однорідних неокласичних виробничих функцій
Xi = Fi(Ki, Li,) i = 0, 1, 2,
де Xi, Ki, Li — відповідно випуск, ОВФ і кількість зайнятих у i-му секторі.
2. Загальна кількість зайнятих L (у виробничій сфері) змінюється із постійним темпом приросту ?.
3. Лаг капіталовкладень відсутній.
4. Коефіцієнти зношування ОВФ ?i і прямих матеріальних витрат аi секторів постійні.
5. Економіка закрита, тобто зовнішня торгівля безпосередньо не розглядається.
6. Час t змінюється неперервно.
Припущення (2) в дискретному часі має вигляд (t — номер року):

у разі переходу до неперервного часу набуває форми диференціального рівняння:

яке має такий розв’язок:
                                   (2.1.37)
Із припущень (3, 4) виходить, що зміна за рік ОВФ i-го сектора складається з двох частин: зносу (– ?iKi) та приросту за рахунок валових капіталовкладень (+ Іі), тобто:

Ki(t + 1) – Ki(t) = – ?iKi(t) + Іі(t), i = 0, 1, 2,

або в неперервному часі:

Ki(t + ?t) – Ki(t) = – [?iKi(t) + Іі(t)]?t,

за ?t > 0 одержуємо диференціальні рівняння для ОВФ секторів:
             (2.1.38)
Далі індекс часу t скрізь пропущено, але передбачається за визначенням. ОВФ і кількість зайнятих у секторах (Ki, Li) є миттєвими показниками, тобто їхні значення можна визначити (виміряти) в будь-який момент часу t. Випуск секторів, інвестиції (Xi, Ii)є показниками типу потоку, тобто їхні значення нагромад­жуються за рік, що розпочинається в момент t.
Отже, для зроблених припущень трисекторна модель економіки в абсолютних показниках набуває вигляду (2.1.39):

де Ii — інвестиції у -й сектор; ? — темп приросту кількості зайнятих; ?i –коефіцієнти вибуття ОВФ за секторами; ai — коефіцієнти прямих матеріальних витрат за секторами.
Трисекторна модель є динамічною, оскільки містить чотири лінійні динамічні елементи. Вона нелінійна, оскільки випуски сек­торів задано нелінійними виробничими функціями.
У відносних показниках модель набуває форми:
(2.1.40)
де  — частка числа зайнятих у і-му секторі із загальної кіль­кості зайнятих;
 — частка інвестицій у і–й сектор у загальному обсязі інвестицій;
 — продуктивність праці в і- му секторі;
народногосподарська продуктивність і-го сектора.
У моделі (2.1.40) параметри а0, а1, а2, ?0, ?1 ,?2, ? є екзогенними та вважаються сталими. Параметри (?, s) = (?0, ?1, ?2, s0, s1, s2) — єкерівними. Рівняння для фондоозброєності має таку стаціонарну точку за умови, що (?, s) постійні:

За ki < ki0, як видно з (2.1.40),  > 0, а за ki > ki0значення , тому , (за kі0 < kі0є зростаючими, фондоозброєність наближається до стаціонарного значення, а за kі0> kі0 — спадними). Шляхом регульованого перерозподілу праці можна забезпечити монотонне наближення фондоозброєності до стаціонарного значення.