лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

5.2. Економетричне прогнозування
на основі ARIMA- та VAR-моделей

Обговорення в попередніх розділах різноманітних методів прогнозування доводить, що одновимірні моделі аналізу часових рядів (AR,MA,ARIMA) є атеоретичними, оскільки під час їх побудови економічну теорію майже не використовують. Ці моделі прості в застосуванні й не потребують великих витрат. Навпаки, аналіз економетричних моделей прогнозування наголошує вагому роль економічної теорії. Але значним недоліком таких моделей є велика вартість їх дослідження і водночас не­надійність структурних зв’язків, відтворюваних у моделі, через непередбачені зміни реальних економічних процесів. Щоб уникнути проблем, пов’язаних із формулюванням припущень на підставі певного знання економічної теорії, розроблено економетричний апарат, який уможливлює поширення техніки одномірного прогнозування і на випадок кількох змінних. Одним із аргументів на користь використання одновимірної моделі є те, що її можна отримати зі структурної моделі, й тоді оцінювана одновимірна модель може забезпечити високу якість прогнозу за відносно низькі ціни. У цьому параграфі ми розглянемо деякі багатовимірні узагальнення ARIMA-моделей. Почнемо з прикладу.


Приклад 5.2.1.

Для демонстрації зв’язку між економетричним і суто статистичним підходами до прогнозування розглянемо приклад простої моделі економіки країни, яка задається такими рівняннями:

де ендогенні змінні  є, відповідно, реальним доходом, споживанням, інвестиціями та урядовими витратами в момент часу t. До рівняння входить попереднє значення однієї ендогенної змінної, а саме значення реального доходу  у момент часу – 1, до того ж a, b, d, r, G є додатними сталими. Збурення et є білим шумом, тобто  для всіх t та  для t ? s, а дисперсія  є сталою.
У загальному випадку ми можемо розв’язати систему рівнянь, отримавши рівняння приведеного вигляду, в яких кожна ендогенна змінна записана як функція від усіх екзогенних змінних та значень ендогенних змінних системи у попередні моменти часу. Отже, підставивши (2), (3) та (4) у (1), ми отримаємо рівняння для доходу в приведеному вигляді:
,                           (5.2.1)
де та .
У (5.2.1) величина  виражена через свої попередні значення, сталу та збурення. Отже, (5.2.1) є одновимірним зображенням для Y, відомим як авторегресія першого порядку, або AR(1)-процес, оскільки виражається через своє значення в попередній момент часу. Таким чином, еконо­мічну модель можна звести до простої одновимірної моделі. Якщо застосувати оператор лагів (зсуву у часі) L, визначений рівняннями, можна записати (5.2.1) як
,                              (5.2.2)
або
,                    (5.2.3)
Якщо – 1 < ? < 1, то підстановка у (5.2.3) розкладу в геометричний ряд

дає рівняння
            (5.2.4)
У (5.2.4) значення  є функцією від сталої та нескінченної кількості похибок, які є білим шумом. Якщо ряд можна записати у такий спосіб, то кажуть, що це процес рухомого середнього нескінченного порядку або MA(?).Остаточно виразивши  у (2) через С і підставивши замість  та  у (5,2,1), можна в результаті перетворень переписати рівняння (2) у вигляді
,              (5.2.5)
Тут C виражено через свої значення в попередні моменти (і, таким чином, є процесом авторегресії першого порядку або AR(1)) та значення залишків у поточний і попередній моменти часу (тобто є процесом рухомого середнього першого порядку або MA (1)). Процеси такого типу відомі як процес авторегресійного рухомого середнього або ARMA(1,1).
Цей простий приклад ілюструє, як дві ендогенні змінні структурної моделі, Y та C, можна зобразити у вигляді одновимірного часового ряду та виразити винятково у термінах їхніх власних попередніх значень та/або випадкових похибок. Усе вищесказане можна також застосувати до решти ендогенних змінних, 1 та G. Звичайно, якщо змінити модель, включивши додаткові ендогенні змінні та значення інших змінних у попередні моменти часу, то зміняться й одновимірні зображення.
ARIMA-моделі є зручним інструментом коротко- та середньотермінового прогнозування окремих часових рядів. Однак сучасні дослідження зосереджуються на розробленні апарату одночасного моделювання кількох часових рядів за допомогою системи динамічних рівнянь -процесів, що дає змогу включати й досліджувати взаємозворотні зв’язки між показниками та їхніми лаговими значеннями. 8
Системи, що складаються лише зі змінних, які залежать одна від одної, а також від лагових значень усіх змінних моделі, ді­стали назву -моделей (vector autoregressive). У цих моделях не намагаються відтворити реальну структуру економіки, відсутній розподіл змінних на екзогенні й ендогенні. Тому VAR-моделі зазвичай використовують для прогнозування, хоча за їх допомогою можна аналізувати взаємозалежність між змінними, точно встановлювати їхню структуру. Якщо в аналізі моделі використовують лагові значення деякого процесу з властивостями «білого шуму», такі моделі називають VARIMA(vector autoregressive moving average). Крім того, якщо замість значень часового ряду беруть послідовні різниці, систему називають VARIMA (vector autoregressive integrated moving average). Якщо додати до стандартної VARIMA-моделі кілька екзогенних змінних, отримана модель називатиметься VARIMAХ (vector autoregressive moving average with exogenous variables).
Зазначимо, що VAR-модель є багатовимірним узагальненням кількох підходів до економетричного моделювання, а саме: симультативних систем одночасних рівнянь, критики Сімса економетричних моделей [14] та багатовимірних ARIMA-моделей. Кож­на з цих відправних точок може привести до векторних авторегресійних моделей.
Прикладом побудови простої VAR-моделі є модель прогно-
зування відсоткових ставок (Rt) і відсоткової зміни грошової маси (Мt):
,
Головною відмінністю цієї моделі є симетрія змінних — обидві змінні з’являються по обидва боки кожного рівняння, Таке подання системи рівнянь є структурною формою VAR-моделі, Як і у разі симультативних систем рівнянь, структурну форму VAR-моделі завжди можна переписати у вигляді приведеної форми, тобто виразити всі ендогенні змінні тільки через предетерміновані змінні.
Означення стандартної VAR(p)-моделі,VAR-модель у приведеній формі називається стандартною VAR-моделлю. В загальному випадку, якщо досліджують т змінних, кожну з яких спостерігали протягом п періодів, то приведена векторна авторегресійна модель p-го порядку (VAR(p)) описується системою рівнянь:
           (5,2,6)
де  — номер змінної,
 — коефіцієнти моделі,
 — векторні процеси «білого шуму».
Для спрощення запису введемо нові позначення:
, , , , ,
Тоді модель (5.2.6) матиме вигляд
,                (5.2.7)
де І — одинична матриця розміру .

Використовуючи поліном від оператора зсуву  , отримуємо запис VAR-моделі в матричному вигляді:

,                                (5.2.8)
При цьому припускається, що ряди , стаціонарні, тобто мають постійну дисперсію та математичне сподівання, значення яких не залежать від періоду часу. У разі нестаціонарних часових рядів їх необхідно перетворити на стаціонарні операцією різниць. Інакше оцінені коефіцієнти моделей можуть виявитися хибними, а похибка регресії (estimated error) — викривленою. Випадкові величини  є «білим шумом», але корелюють між собою
За аналогією з ARIMA-процесами, які завжди можна представити у вигляді процесів ковзної середньої, вектор-авторегре­сійні моделі можна представити у вигляді вектор-процесів ковзної середньої. Так, VAR (p)-процес вигляду (5.2.8) можна перетворити на VMA (?)-процес, який у стандартному вигляді записують як:
,                  (5.2.9)
де  — одинична матриця, а кожна матриця коефіцієнтів має вигляд:
,
Практична побудова VAR (p)-моделі передбачає такі етапи:

  • визначення порядку (p) моделі;
  • оцінювання параметрів;
  • побудову прогнозу;
  • аналіз функції імпульсних відгуків (аналіз реагування на шоки) та декомпозицію дисперсії.

Визначення порядку VAR (p)-моделіє першим практичним етапом її побудови. Основне питання полягає у визначенні кількості рівнянь  у системі, кількості лагів p для кожної змінної. При включенні багатьох змінних із великою кількістю лагів систему, важко оцінити й аналізувати взаємовплив змінних одна на одну. Разом із тим, невелика кількість змінних або лагів може призвести до неправильної оцінки моделі. Незважаючи на певну невизначеність стосовно параметра р, треба пам’ятати, що краще додати до моделі зайві лаги, аніж зменшити необхідну кількість їх. В останньому випадку в моделі можливе зсунення оцінок через помилку специфікації, тоді як у першому випадку можлива лише втрата деякої ефективності оцінених коефіцієнтів. На практиці обирають спочатку максимально можливе значення pmax, причому кількома шляхами. Наприклад, якщо економічна інформація є квартальною, то найчастіше обирають pmax = 4 або pmax = 8. Вибір pmax також залежить від кількості спостережень за процесом, оскільки за наявності лише кількох спостережень можна використовувати дуже малі значення pmax.
Найбільш формальним критерієм вибору є АІС-критерій, який для VAR (p)-моделі модифікують до вигляду:
,                         (5,2,10)
де  — коваріаційна матриця залишків у разі застосування методу найменших квадратів,  — детермінант коваріаційної матриці.
Тоді вибір pmax здійснюють таким чином. Спочатку послідовно обчислюють значення АІС(р)для всіх , де квадратні дужки позначають цілу частину числа, За величину pmax обирають те значення р,за якого мінімізується АІС(р).
Ще однією можливістю вибору pmax є застосування такого критерію. Нехай модель має s рівнянь, кожне з яких має р1 лагів. Усього маємо змінних, без констант. Спочатку визначимо параметри моделі й обчислимо визначник коваріаційної матриці похибок D1. Зменшимо кількість лагів до величини і знайдемо відповідне значення D2. Після цього обчислимо статистику
,                             (5.2.11)
Якщо , то обираємо модель із меншим числом лагів p2, На жаль, цей критерій може лише визначити, яка кількість лагів — p1чи p2— краща, але не дає змоги визначити оптимальну кількість лагів. Тому для застосування цього методу необхідно перевіряти всі значення кількості лагів р від 0 до .
Оцінювання VAR-моделей, Загальна кількість коефіцієнтів, які потрібно оцінити у VAR (p)-моделі виду (5.2.7), у якій присутні  змінних, сягає  (коефіцієнти вектора С, матриць ). Для спрощення процесу знаходження коефіцієнтів введемо позначення:
 — матриця розміру  коефіцієнтів моделі,

вектор розміру  екзогенних змінних.
Тоді модель (5.2.7) запишеться як:
.                              (5.2.12)
Очевидно, що оцінити таку модель неважко за допомогою методу найменших квадратів, який дає консистентні й асимптотично ефективні оцінки. Оскільки існує  рівнянь, то необхідно застосувати цей метод  разів. Однак зазначимо, що це можливо, оскільки кількість лагових змінних у кожному рівнянні системи однакова. Якщо це не так, тоді оцінка системи на основі МНК неможлива. В такому разі VAR-модель необхідно оцінювати методом уявно непов’язаних регресій (SUR), що забезпечує ефективні оцінки.
Для оцінювання коефіцієнтів структурної форми за знайденими коефіцієнтами приведеної форми потрібно розв’язати питання ототожнення, яке формулюється як завдання певних обмежень. Так, система  у структурній формі буде точно ототожненою, якщо на один із параметрів накласти обмеження; якщо обмеження накладено більш як на один параметр, система буде переототожненою.
Прогнозування на основі VAR-моделей, Завдяки VAR-моде­лям можна отримати одночасно прогнози багатьох взаємопов’я­заних економічних показників. Зазвичай, передбачення майбутніх значень часових рядів здійснюють, як і у випадку ARMA-мо­делей, із мінімально можливою помилкою.
Нагадаємо, що під час прогнозування можливі два типи помилок: пов’язані з різницею між дійсними та оціненими коефіцієнтами моделі, які використовують для прогнозу, та пов’язані з ігноруванням випадкових величин (майбутніх збурень). Класично зважають лише на другий тип помилок, тому під час прогнозування намагаються мінімізувати саме його.
Як і раніше, позначимо прогноз у період часу через . При цьому  є прогнозовим періодом, або періодом випередження. Відповідно помилки прогнозу дорівнюють: . З огляду на те, що значення помилок можуть бути як від’ємними, так і додатними, використовують поняття міні­муму середнього квадрата помилок (MSE). Відповідно, оптимальним є прогноз, за якого мінімізується середній квадрат помилок прогнозу, тобто обирається таке прогнозове значення , за якого мінімізується . Зауважимо, що, оскільки помилка прогнозу є випадковою величиною, ми мінімізуємо математичне сподівання квадрата помилок.
Мінімізація середнього квадрата помилок відповідає прогнозовому значенню ,отриманому як умовне сподівання за даними всіх спостережень часового ряду до періоду t,тобто .
Загальний принцип розрахунку прогнозу проілюструємо для випадку найпростішої VAR-моделі в стандартному вигляді:
                 (5.2.13)
Перепишемо (5.2.13) у матричному вигляді:
.                            (5.2.14)
Для спрощення виключимо з (5.2.14) вектор  і отримаємо
,                                (5.2.15)
Таким чином, якщо дійсні значення за VAR (1)-моделлю (5.2.15) в період часу : , то відповідно прогнозові значення в період часу :
, оскільки ,
Вектор помилок прогнозу в період часу () дорівнює .
Вектор дійсних значень за VAR (l)-мoдeллю в період часу
.
Прогнозні значення Y у період
,
Помилки прогнозу
,
Відповідно для періоду  отримаємо:
,              (5.2.16)
.               (5.2.17)
Помилки прогнозу
.        (5.2.18)
Якщо позначити VAR-COV-матрицю векторів випадкових
величин через , то з виразу (5.2.18) легко побачити, що VAR-COV-матриця для помилок у період відповідно дорівнює:
.          (5.2.19)
Ілюстрація принципу прогнозування на основі найпростішої VAR-моделі демонструє надзвичайну простоту отримання прогнозів, коли вся необхідна для цього інформація міститься лише в часових рядах досліджуваних змінних. При цьому модель уникає довільних обмежень економічної теорії, водночас шляхом включення кількох змінних можна подолати обмеженість одновимірних моделей. Сучасні пакети прикладних програм уможливлюють отримання прогнозів для VAR-моделей вищих порядків із великою кількістю досліджуваних показників.
Імпульсний аналіз. На відміну від ARIMA-моделей VAR-мо­делі дають змогу проводити економічний аналіз результатів, Звичайно, самі коефіцієнти VAR-моделей важко тлумачити, але можна інтерпретувати результати функції імпульсних відгуків (impulse responsible function) і декомпозиції дисперсій (variance decomposition).
Розглянемо стандартну VMA(?) — модель (5.2.9). Елемент  кожної матриці коефіцієнтів  показує, як зміниться значення і-ї ендогенної змінної залежно від j-го шоку (зміни j-ї випадкової змінної) періодів тому. Таким чином:
.                             (5.2.20)
Вираз  як функція від  називається функцією імпульсних відгуків. За допомогою цієї функції можна досліджувати, який вплив на майбутні значення справляють відповідні шоки в минулому.


Приклад 5.2.1.

Проілюструємо ідею імпульсного аналізу простим прикладом, Для VAR(1)-моделі (5.2.13), або у матричному вигляді , для спрощення припускаємо, що вектор  (перетини) відсутній, тобто в матричному вигляді маємо .
Нехай нам відома матриця коефіцієнтів та варіаційно-коваріаційна матриця залишків . Перший елемент варіаційно-коваріаційної матриці є дисперсією першого збурення, тобто . Побудуємо імпульсну функцію із припущенням, що пер­ше збурення змінюється на одне середньоквадратичне відхилення, тобто на 3. Крім того, припустімо, що початкові значення ендогенних змінних дорівнюють нулю:
; ,

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.