лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Прогнози на наступні квартали 1999—2002 років розраховують аналогічно. Оскільки значення  за I квартал 2003 року невідоме, всі прогнози на більш віддалене майбутнє дорівнюють прогнозу на I кв. 2003 року.
Згладжені ряди у стовпчиках 4 та 6 побудовані на підставі різних , але однакового початкового прогнозу. Розрахуємо похибки двох одержаних прогнозів за показником . Значення RMSE за 1999—2002 роки істотно не відрізняються, але слід віддати перевагу значенню , за яким прогноз має меншу похибку (RMSE = 2,14). Значення точкових прогнозів  на чотири квартали наступного року обчислено у стовпчику 6. На рис. 2.2.2 побудовано графіки фактичних і прогнозованих значень доходів бюджету.
Для розрахунку інтервального прогнозу знайдемо оцінку стандартної похибки згладженого ряду за формулою (3.3.10). Абсолютні значення похибок прогнозу, їхні експоненціально зважені середні ( ) та стандартні похибки прогнозу  наведено в таблиці 3.3.4. Виходячи з припущення про незалежність похибок і нормальний розподіл їх, мож­на сподіватися, що значення фактичного доходу бюджету у січні—березні 2003 року перебуватиме в інтервалі .

Таблиця 3.3.4

ОЦІНКИ ПРОГНОЗІВ ТА ПОХИБОК

№ кварталу

Прогноз

1

25,21875

1,419

2,522

3,152

2

24,72219

0,578

2,136

2,670

3

24,92442

2,424

1,590

1,988

4

24,07587

2,524

1,882

2,353

5

24,95932

1,141

2,107

2,634

6

25,35856

1,841

1,769

2,211

7

26,00306

0,703

1,794

2,243

8

25,75699

5,243

1,412

1,765

9

27,59204

0,792

2,753

3,441

Закінчення табл. 3.3.4

№ кварталу

Прогноз

10

27,31483

2,115

2,067

2,583

11

26,57464

3,375

2,084

2,604

12

25,39351

0,994

2,535

3,169

13

25,04578

0,146

1,996

2,495

14

24,99476

0,595

1,348

1,685

15

24,78659

2,687

1,085

1,356

16

23,84629

0,854

1,645

2,057

17

24,14509

 

1,368

1,710

18

23,60431

 

0,889

1,112

19

23,46280

 

0,578

0,723

20

22,70582

 

0,376

0,470

8
Адаптивні методи прогнозування часових рядів. Адаптивне прогнозування дає змогу автоматично змінювати константу зглад­жування в процесі обчислення. Інструментом прогнозування в адаптивних методах є математична модель з одним чинником «час».
Адаптивні моделі прогнозування — це моделі дисконтування даних, які здатні швидко пристосовувати свою структуру й параметри до зміни умов. Найважливіша особливість їх полягає у тому, що це саморегулювальні моделі, й у разі появи нових даних прогнози оновлюються із мінімальною затримкою без повторення спочатку всього обсягу обчислень.
Нехай ми перебуваємо в якомусь поточному стані, для якого відомий поточний рівень ряду  й очікуване значен-
ня . Залежно від закладеної у модель гіпотези фор-
мування сподіваних значень розрізняють моделі адаптивних сподівань, неповного коригування, раціональних сподівань. Методи розрахунку доволі складні, тож розглянемо лише підхід до цієї проблеми. Схему такого процесу представлено на рис. 3.3.3.

Рис. 3.3.3. Схема побудови адаптивних моделей

Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі): .
У моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою () від очікуваної зміни . Пара­метр  називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий  до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля — тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.
Помилка прогнозу через зворотний зв’язок надходить до моделі та враховується залежно від прийнятої системи переходу від одного стану до наступного. В результаті з’являються «компенсаційні» зміни, які дають змогу коригувати параметри моделі з метою більшого узгодження поведінки моделі з динамікою ряду. Наприклад, бажане значення  якогось економічного показника визначається рівнянням:
                           (3.3.11)
де залишки є «білим шумом» і не корелюють із t. Фактичне значення на момент tyt не співпадає із бажаним значенням, але буде пристосовуватися до нього за таким правилом:
                      (3.3.12)
де  — білий шум. Із (3.3.12) випливає, що на кожному кроці t рівень ряду yt,буде коригуватися в напрямі очікуваного значення  на величину, пропорційну різниці між бажаним і поточним рівнями економічного показника. Співвідношення (3.3.12) можна переписати у вигляді експоненціальної середньої першого порядку:
                        (3.3.13)
з чого видно, що поточне значення величини yt є зваженим серед­нім бажаного рівня на даний момент часу та фактичного значення в попередньому періоді. Підставляючи значення (3.3.11) в (3.3.13), маємо модель коригування прогнозу:
                (3.3.14)
Це співвідношення називають короткотерміновою функцією моделі.
Таким чином, адаптація здійснюється ітеративно з одержанням кожної нової фактичної точки ряду. Модель постійно «всмок­тує» інформацію й розвивається з урахуванням нових тенденцій, наявних на теперішній момент. Завдяки зазначеним властивостям адаптивні методи найуспішніше використовують для оперативного прогнозування.
У практиці статистичного прогнозування базовими адаптивними моделями вважаються моделі Брауна і Хольта, які належать до схеми ковзної середньої, та модель авторегресії. Решта адаптивних методів (метод адаптивної фільтрації (МАФ), метод гармонійних ваг тощо [27]) розрізняються за способом оцінювання параметрів моделі та визначенням параметрів адаптації базових моделей.
Метод адаптивного згладжування Брауна. Метод Брауна є узагальненням методу простого експоненціального згладжування.
Розглянемо постановку задачі експоненціального згладжування в загальному випадку. Нехай часовий ряд  () можна описати моделлю виду , де  — функція тренду,  — випадкові взаємонезалежні похибки із нульовим серед­нім значенням і сталою дисперсією, що розподілена нормально розподіленою із нульовим математичним сподіванням і дисперсією .
Своєю чергою, функцію  можна розкласти в ряд Тейлора, тобто описати поліномом -го порядку
.        (3.3.15)
Потрібно за даними ряду  зробити прогноз на моменти часу () () шляхом зважування спостережень ряду  так, щоб пізнішим спостереженням надати більшу вагу, ніж попереднім. Прогноз рівнів ряду  на період часу , де  також можна побудувати за допомогою розкладення в ряд Тейлора:
,      (3.3.16)
де  — -та похідна, взята в момент t.
Згідно із теоремою, доведеною Р. Брауном та Р. Майєром, будь-яка -та похідна () рівняння (3.3.15) може бути виражена через лінійні комбінації експоненціальних середніх до () порядку. Головною метою експоненціального згладжування при цьому є обчислення рекурентних виправлень до оцінок коефіцієнтів  рівняння виду (3.3.15).
Так, експоненціальна середня 1-го порядку для ряду  записується, як
,                       (3.3.17)
де  — параметр згладжування ().
Експоненціальна середня -го порядку для ряду  записується як
.                   (3.3.18)
Для визначення експоненціальної середньої використовують таку рекурентну формулу:
.               (3.3.19)
Тобто в розрахунку нової експоненціальної середньої беруть попередню експоненціальну середню та частку  від різниці між новим спостереженням і його попереднім згладженим значенням.
Покажемо, як обчислюється експоненціальна середня для моменту часу t із раніше згладжених величин. Візьмемо, наприклад, експоненціальну середню першого порядку:
(3.3.20)
Тут  — величина, що характеризує початкові умови.
Отже, функція (3.3.20) є лінійною комбінацією всіх поперед­ніх спостережень. Ваги, які надаються минулим рівням , зі збільшенням  спадають за геометричною прогресією. Тому ко­ефіцієнт  можна тлумачити як коефіцієнт дисконтування, що характеризує ступінь знецінення інформації з плином часу, а  — як вагу поточного спостереження .
Наприклад, якщо параметр згладжування , то для момен­ту часу () вага для відповідного спостереження буде дорів­нювати 0,3 (1 – 0,3) = 0,21; для спостереження в момент () вага становитиме 0,3 (1 – 0,3)2 = 0,147; для моменту () — відповідно 0,1029 тощо.

Виходячи з рекурентної формули, можна отримати експоненціальні середні різних порядків:
                  (3.3.21)
де  — експоненціальна середня k-го порядку в точці t.
Знаючи експоненціальні середні різних порядків, можна визначити оцінки параметрів у розкладенні (3.3.11) і, відповідно, прогнозові значення рівнів динамічного ряду.
Метод експоненціального згладжування можна узагальнити на випадки будь-якого ступеня полінома для вираження невипадкової складової часового ряду, але, як свідчить досвід, перевищення другого ступеня полінома не так збільшує точність прогнозу, як значно ускладнює процедуру розрахунків. Тому зазвичай розглядають три такі моделі Брауна.
Модель нульового порядку описує часовий ряд , у якому відсутні тренд і сезонні коливання, а процес (3.3.11) представлено у вигляді
,                               (3.3.22)
де  — невідомий незалежний від часу параметр, що характеризує поточний рівень ряду.
Модель першого порядку описує лінійну тенденцію
,                            (3.3.23)
де  — параметр, значення якого характеризує середню останнього рівня ряду;  — параметр, що характеризує приріст наприкінці періоду спостереження, а також (хоча меншою мірою) швидкість зростання на попередніх періодах.
Модель другого порядку описує параболічну тенденцію зі змінюваними швидкістю та прискоренням:
,                     (3.3.24)
де  — параметр, значення якого характеризує поточний приріст або прискорення.
Зазначимо, що розглянуті моделі експоненціального згладжування різних порядків можна представити як окремі випадки ARIMA(p,d,q)-моделі. Припустімо, що похибки прогнозу  є незалежними й однаково розподіленими. Тоді, підставляючи у (3.3.19)  для експоненціальної середньої першого порядку матимемо модель: . Оскільки: , то остаточно модель запишеться як: . Підставляючи  замість  та позначивши , отримаємо: , тобто прийшли до моделі  або, якщо початковий ряд представити за допомогою оператора перших різниць L: , маємо ARIMA (0, 1, 1)-модель: .
Модель лінійно-адитивного тренду можна представити ARIMA (0, 2, 2)-моделлю:
 з коефіцієнтами ковзної середньої —  та .
Порядок моделі прийнято визначати або на підставі візуального аналізу графіка процесу (чи існує тренд і чи близький він до лінійної функції), знання законів розвитку характеру зміни дослід­жуваного явища, або методом випробувань, порівнюючи статистичні характеристики моделей різного порядку на ділянці ретроспективного прогнозу.
Оцінювання параметрів моделей на кожному кроці прогнозування t () здійснюється за так званими формулами «онов­лювання» (див. табл. 3.3.5), які використовують похибку прогнозу, обчислену в момент часу () на один крок уперед (). Початкові значення параметрів моделей можна визначити за методом найменших квадратів, використовуючи кілька перших спостережень. Оптимальне значення коефіцієнта дисконтування перебуває у межах [0;1], визначається методом числової оптимізації і не змінюються для всього періоду спостережень.


Таблиця 3.3.5
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ДЛЯ ПРОГНОЗУВАННЯ ЗА АДАПТИВНИМ МЕТОДОМ БРАУНА


Вид моделі та відповідна їй експоненціальна
середня

Початкові умови

Оцінки коефіцієнтів

Оцінка прогнозу

 для границь
інтервалу надійності

;

;



Точковий прогноз розраховують після підстановки значення  в оцінювану модель. Межі інтервалу надійності прогнозу можна визначити за формулою [31]:
,                            (3.3.25)
де величини  обчислюють індивідуально для моделей різних порядків (формули розрахунку  наведено в табл. 3.3.5).


Приклад 3.3.3.

Побудувати прогноз кількості населення в Україні за лінійною моделлю Брауна. Ряд містить 24 рівні спостережень  цього показника (табл. 3.3.6).
Скористаємося схемою адаптивного прогнозування. Початкові оцінки параметрів одержимо МНК за першими п’ятьма точками: , .
Візьмемо , а параметр згладжування  В табл. 3.3.6. наведено розрахунки параметрів моделі Брауна на кожному кроці. На останньому кроці одержуємо модель . Прогнозовані оцінки за цією моделлю розраховують підстановкою у неї значень  та , а інтервальні — за формулою:  , де За розрахунками ; С(1) = 1,365; С(2) = 1,855.
Інтервальні оцінки прогнозів дорівнюють:  та .

Таблиця 3.3.6

ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ БРАУНА

0

49638,7

 

 

49638,7

0,00

1

49755

49764,77

126,1105

49890,88

– 135,88

2

49929,3

49767,23

59,5293

49826,76

102,5415

3

50000

49920,07

109,7746

50029,85

– 29,8459

Закінчення табл. 3.3.6

4

50100

50002,69

95,15014

50097,84

2,163725

5

50300

50099,81

96,21037

50196,02

103,9844

6

50926

50290,64

147,1627

50437,8

488,1959

7

50840

50882,06

386,3787

51268,44

– 428,441

8

51298,7

50878,56

176,4426

51055

243,6977

9

51475,2

51276,77

295,8545

51572,62

– 97,4217

10

51616,6

51483,97

248,1178

51732,09

– 115,486

11

51707

51626,99

191,5298

51818,52

– 111,524

12

51800

51717,04

136,8833

51853,92

– 53,9204

13

51944

51804,85

110,4623

51915,32

28,68488

14

52100

51941,42

124,5179

52065,94

34,06376

15

52200

52096,93

141,2091

52238,14

– 38,1434

16

52100

52203,43

122,5189

52325,95

– 225,952

17

51700

52120,34

11,8025

52132,14

– 432,138

18

51300

51738,89

– 199,945

51538,95

– 238,947

19

50499,9

51321,51

– 317,029

51004,48

– 504,576

20

50105,6

50545,31

– 564,272

49981,04

124,5597

21

49710,8

50094,39

– 503,237

49591,15

119,6477

22

49291,8

49700,03

– 444,61

49255,42

36,37822

23

48415,5

49288,53

– 426,785

48861,74

– 446,241

24

48202,5

48455,66

– 645,443

47810,22

392,2811

25

 

 

 

47810,22

 

26

 

 

 

47164,78

 


Рис. 3.3.4. Результати згладжування
та прогнозування за адаптивною моделлю Брауна
На рис. 3.3.4 показано результати згладжування й прогнозування за побудованою моделлю. Ряд 1 відповідає фактичним даним, ряд 2 — розрахованим за моделлю Брауна, при цьому вказано точкові прогнози на два роки вперед. 8
Метод Хольта. Адаптивна модель за методом Хольта — це динамічний процес у вигляді лінійно-адитивного тренду:
                               (3.3.26)
де  — прогнозована оцінка рівня ряду , яка розраховується в момент часу  на  кроків уперед,
 — оцінка поточного (-го) рівня часового ряду,
 — оцінка поточного приросту.
Припускається, що випадкові залишки е мають нормальний закон розподілу із нульовим математичним сподіванням та дисперсією .
У цьому методі послаблені умови однопараметричності моделі Брауна за рахунок уведення двох параметрів згладжування —  та , ().
Коефіцієнти лінійної моделі (3.3.34) за методом Хольта розраховують за такими співвідношеннями:
,                         (3.3.27)
,                              (3.3.28)
де еt — похибка прогнозу рівня , обчислена в момент часу (t-1) на один крок уперед, .
Коефіцієнт  має значення, близьке до останнього рівня, і становить закономірну складову цього рівня; коефіцієнт — визначає приріст, що склався наприкінці періоду спостережень, але характеризує також швидкість зростання показника поперед­ніх етапах. Початкові значення параметрів моделі знаходять за методом найменших квадратів на підставі кількох перших спостережень. Оптимальні значення параметрів згладжування  та  визначають методом багатовимірної числової оптимізації, вони є сталими для всього періоду спостереження.
Після оцінювання параметрів  та  прогноз на ? моментів часу, тобто , розраховують як суму оцінки середнього поточ­ного значення () та очікуваного показника зростання (), помноженого на період випередження ?, тобто
.                               (3.3.29)
За допомогою оператора L можна зрушити всю послідовність даних на один крок назад: . Застосування оператора  до спостережень і коефіцієнтів моделі Хольта дає змогу представити її як модель ARIMA (0, 1, 1)у вигляді:
.          (3.3.30)
Формулювання адаптивних моделей у термінах лінійних пара­метричних моделей ARMA (авторегресії — ковзної середньої) — уможливлює також тлумачення їх як підмножини класу лінійних параметричних моделей. Отже, встановлюється відповідність між двома різними підходами до моделювання часових
рядів.
Метод еволюції для дво- та трипараметричних моделей. Підбір параметрів адаптації є вузьким місцем для всіх адаптивних методів, ґрунтованих на експоненціальному згладжуванні. Як правило, для кожного набору значень параметрів розраховують серію прогнозів за цим методом згладжування, і, порівнюючи одержані середньоквадратичні похибки прогнозів, обирають кращі з них. Зазвичай всю громіздкість процедури перекладають на комп’ютер.
Альтернативою базовим моделям є динамічне коригування пара­метрів згладжування. В методах еволюції та симплекс-плану­вання параметри адаптації постійно змінюються на кожному кроці . Для кожного параметра згладжування задається кілька значень. Кожен набір параметрів згладжування розглядається як одна точка. Центральна точка вважається прогнозовою, решта — контрольними. Згідно із алгоритмом методу для наступного кроку кращим набором вважаються ті значення, для яких на попередньому кроці була побудована точніша модель. Методи еволюції відрізняються від симплекс-планування лише геометричною фігурою, що відображає сполучення параметрів згладжування (квадрат, куб, тетраедр тощо). Значення параметрів, які спочатку є довільними, постійно змінюються, й алгоритм їхньої зміни спрямований на якнайшвидше вилучення помилок прогнозування.
Для забезпечення адаптації параметра згладжування одно­параметричної моделі до зміни динаміки ряду можна, використовуючи три різних параметри, які називаються відповідно нормаль­ним(a), низьким ( h) і високим (a + h), отримати не одну, а три оцінки наступного рівня ряду. При цьому оцінка, отримана за нормальним значенням параметра, вважається прогнозом, а інші дві оцінки є контрольними величинами.
Після одержання нового фактичного рівня ряду визначають величину параметра, яка дає найменшу абсолютну або згладжену похибку і, отже, є найкращою для попереднього й поточного кроків. Припускається, що параметр буде найкращим і на поточному кроці прогнозування. Це значення вважається нормальним, і вже з огляду на нього розраховуються нові низьке та високе значення (), що мають перебувати в певному інтервалі ().
Отже, значення параметру згладжування, яке попервах обирають навмання, постійно змінюється в напрямі компенсації й усування похибок прогнозування, що постійно виникають.

 

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.