лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

3.3. Прогнозування тенденції часового ряду
за алгоритмічними методами

Сутність алгоритмічних методів полягає у послідовній заміні фактичних рівнів часового ряду  їхніми згладженими значеннями , які за певним алгоритмом розрахунку оцінюють невідому функцію тренду  у будь-якій наперед заданій точці , не претендуючи при цьому на аналітичне (тобто у вигляді певної формули) представлення функції  для всього базового періоду . Вони мають механізм автоматичного налагодження на зміну досліджуваного показника. Завдяки цьому модель постійно пристосовується до зміни інформації й наприкінці інтервалу прогнозової бази відображає тенденцію, що склалася на поточний момент. Прогноз отримують як екстра­поляцію тенденції поточного рівня ряду, тобто останнього на даний момент.

Найвідомішими ітераційними методами згладжування часових рядів є метод ковзної середньої, експоненціального згладжування, адаптивного згладжування та їхні модифікації.
Метод ковзної середньої ( —«moving average»). Цей метод є одним із найпростіших методів вирізнення тренду. Зглад­жування за допомогою ковзної середньої ґрунтоване на тому, що в середніх величинах взаємно гасяться випадкові відхилення. Саме зменшення випадкового розкиду (дисперсії) якраз і означає згладжування відповідної траєкторії.
Згладжування за допомогою ковзної середньої відбувається так. Початкові рівні часового ряду  замінюють його середніми (згладженими) величинами , розрахованими для певної кількос­ті рівнів ряду. Одержані значення стосуються середини обраного інтервалу. Потім інтервал зсувають на одне спостереження, і розрахунок повторюють. Інтервали визначення середньої весь час є однаковими. Таким чином, у кожному інтервалі згладжена серед­ня оцінює середню точку цього інтервалу. В процесі згладжування часового ряду ковзною середньою участь у розрахунках беруть усі рівні ряду. Чим ширший інтервал ковзання, тим гладшим виглядає тренд. Кількість даних, які входять до інтервалу, називають порядком ковзної середньої. Наприклад, якщо в інтервал згладжування входять т значень часового ряду, то ми маємо ковзну середню т-го порядку, що записується як .


Приклад 3.3.1.

На рис. 3.3.1 зображено згладжування часового ряду щомісячних змін реального ВВП за п’ять років відповідно ковзними середніми порядку 4, 9, 12 і 15. Очевидно, що мірою підвищення порядку згладжування ряд стає гладшим. Для ковзної середньої 12-го порядку він навіть більш гладкий, ніж для ковзної середньої 15-го порядку. Такий ефект пов’язаний із наявністю сезонності в часовому ряді, причому період сезонних коливань збігається з інтервалом згладжування.




Рис. 3.3.1. Згладжування динамічного ряду
ковзними середніми різних порядків
Вибір інтервалу згладжування залежить від специфіки
вхідних даних. Окрім того, з його обранням пов’язане питан-
ня щодо техніки обчислення ковзної середньої. Розрахова-
ні середні дані потрібно розміщувати в центрі інтервалу зглад­жування. При цьому якщо  непарне, то розрахована середня потрапляє у центр інтервалу згладжування на фактичний рівень часового ряду. Якщо  парне, то розраховану серед-
ню не можна віднести до жодного рівня ряду: вона буде розташована в центрі інтервалу між двома суміжними рівнями. Щоб уникнути цієї незручності, додатково розраховують цен­тровані ковзні середні (МAС) цих двох суміжних ковзних середніх.
Нехай непарний інтервал можна представити як  (ціле число  обирають відповідно до нерівності  і, як правило,  не перевищує трьох). Тоді для непарного  ковзна середня обчислюється за формулою:
.                                (3.3.1)
Наприклад, ковзна середня 7-го порядку в період t матиме
вигляд:
,
.
Якщо  єпарним і його можна записати у вигляді (), ковзна середня обчислюється за формулою:
.(3.3.2)
Наприклад, ковзна середня 6-го порядку дорівнює:
,
.
Зазначимо: якщо часовий ряд є періодичним з періодом
сезонності , тобто , то яким буде t, = const. Ковзна середня 12-го порядку згладжує більшість сезонних коливань.
Розрахунок ковзних середніх триває доти, доки не буде обчис­лено згладжене значення  для останнього інтервалу згладжування заданого часового ряду. В результаті будуть знайдені оцінки  згладжених значень часового ряду  для всіх , окрім  та . Отже, згладжений ряд коротший за початковий на () спостережень. Для визначення згладжених значень у  перших і  останніх крайніх точках усього часового ряду можна використати відповідні значення локально апроксимаційних поліномів, побудованих, відповідно, за  першими та  останніми точками часового ряду .
Оцінка дисперсії ковзної середньої  дорівнює
,                                  (3.3.3)
де  — оцінка дисперсії всіх членів вхідного ряду.
Прогнозованому значенню  на один період випередження відповідає останнє згладжене значення , обчислене як ковзна середня -го порядку (і парного, і непарного ) за  останніми даними часового ряду . Зазначимо, що згладжене значення  у випадку стаціонарного ряду дорівнює прогнозу очікуваного значення показника в майбутньому не лише на прогнозований період , а й на наступний та подальші
періоди.
Точніші результати згладжування дає застосування зваженої ковзної середньої. Її оцінку  в середині кожного інтервалу згладжування описує поліном р-го ступеня:
.                                (3.3.4)
Параметри цього рівняння знаходять за методом найменших квадратів. Ковзну середню в обраному інтервалі визначають як зважене середнє усіх попередніх рівнів, причому ваги спостережень мають неоднакові значення.
Наприклад, якщо в інтервал згладжування входять п’ять спостережень, а тенденцію можна представити поліномом другого ступеня, то згладжений середній рівень у взятому інтервалі виражатиме значення тенденції на початку відліку. За  початок відліку, як виходить із формули (3.3.4), дорівнює .
Для цього випадку:
,              (3.3.5)
де коефіцієнти за  (позначимо їх ) характеризують «вагу», що надається рівню ряду, розташованому на відстані  від моменту . Наприклад, .
Розраховані таким чином ваги мають дві основні властивості: сума ваг дорівнює одиниці (цим процедура ковзної середньої дещо відрізняється від поняття МА-процесів, введеного у розділі 2.2, оскільки підсумок коефіцієнтів () у (2.2.1) не обов’язково дорівнює одиниці); ваги симетричні стосовно середньої величини інтервалу згладжування.

Указані властивості характерні для будь-якої системи ваг, що розраховується за зваженою ковзною середньою. Обчислені значення вагових коефіцієнтів ,  для різної дов­жини відрізків усереднення  (або порядку згладжування ) і порядку апроксимаційного полінома  (3.3.2) наведено в таблиці 3.3.1 [24]. Зазначимо, що, по-перше, значення  для додатних  не наводяться, оскільки коефіцієнти симетричні стосовно середини відрізка згладжування, тобто ; по-друге, за однакової довжини інтервалів згладжування ,

ваги  у формулі (3.3.4) для поліномів парного ступеня будуть такими самими, що й для поліномів ступеня, більшого на одиницю (непарного).

Таблиця 3.3.1

ЗНАЧЕННЯ ВАГОВИХ КОЕФІЦІЄНТІВ  ЗАЛЕЖНО
ВІД ДОВЖИНИ ВІДРІЗКІВ УСЕРЕДНЕННЯ

ТА ПОРЯДКУ АПРОКСИМАЛЬНИХ ПОЛІНОМІВ


k

р

w– k

w–k + 1

w0

3

0 або 1

5

2 або 3

7

2 або 3

9

2 або 3

;

7

4 або 5

9

4 або 5

;

Метод ковзної середньої набув поширення для короткотермінового прогнозування. Згладжування часових рядів за допомогою ковзної середньої унаочнює визначення вид тренду. За більших значень  коливання згладженого ряду помітно зменшу­ється, але водночас значно скорочується кількість спостережень. Цей недолік помітний за невеликої довжини ряду, або коли треба зробити екстраполяцію на майбутнє. Окрім того, тренд, одержаний за допомогою ковзної середньої, не має кількісного вираження, тобто швидкість зміни ряду невідома. За невеликої кількості спостережень метод часто призводить до викривлення тен­денцій, а вибір величини інтервалу згладжування важко обґрунтувати, хоча від цього залежить форма кривої. Одночасно зі зменшенням дисперсії у згладженому ряду можуть з’явитися систематичні коливання, зумовлені автокореляцією його послідовних значень аж до порядку  (ефект Слуцького-Юла), тобто методи ковзної середньої можуть спричинити автокореляцію залишків, навіть якщо вона була відсутня у початкових даних.


Приклад 3.3.1.

У таблиці 3.3.2 наведено динаміку основних індексів цін (ІЦ%) за дванадцять кварталів: із І кв. 1999-го року по IV кв. 2001 року. Згладимо наведені дані простою ковзною середньою 4-го порядку (МA(4)) і визначимо прогноз ІЦ на І кв. 2002-го року.

Таблиця 3.3.2

ДИНАМІКА ІЦ (%) ТА ОЦІНЮВАННЯ ЗНАЧЕННЯ
ЗА МЕТОДОМ ПРОСТОЇ КОВЗНОЇ СЕРЕДНЬОЇ


Квартали

t

ІЦ

Разом за 4 квартали

Ковзні
середні
МA
(4)

Центровані
ковзні середні
МAС(2)

Прогноз

Похибки

1

2

3

4

5

6

7

8

1999 І кв.

1

105,8

 

 

 

 

 

ІІ кв.

2

105,0

 

 

 

 

 

 

 

 

417,6

104,40

 

 

 

ІІІ кв.

3

101,0

 

 

105,125

 

 

 

 

 

423,4

105,85

 

 

 

IV кв.

4

105,8

 

 

106,0875

 

 

 

 

 

425,3

106,33

 

 

 

2000 I кв.

5

111,6

 

 

106,6875

104,40

7,2

 

 

 

428,2

107,05

 

 

 

II кв.

6

106,9

 

 

106,825

105,85

1,05

 

 

 

426,4

106,6

 

 

 

III кв.

7

103,9

 

 

105,5625

106,33

– 2,43

 

 

 

418,1

104,53

 

 

 

IV кв.

8

104,0

 

 

103,9875

107,05

– 3,5

 

 

 

413,8

103,45

 

 

 

2001 I кв.

9

103,3

 

 

102,8125

106,6

– 3,3

 

 

 

408,7

102,18

 

 

 

II кв.

10

102,6

 

 

101,8375

104,53

– 1,93

 

 

 

406,0

101,5

 

 

 

III кв.

11

98,8

 

 

 

103,45

– 4,65

IV кв.

12

101,3

 

 

 

102,18

– 0,88

2002 I кв.

13

 

 

 

 

101,5

 

Порядок згладжування ряду:

  1. обчислюємо середнє за перші чотири квартали: 105,8 + 105,0 + + 101,0 + 105,8 = 417,6;
  2. отримане загальне середнє ділимо на 4. Звідси перша ковзна середня дорівнює 104,4;
  3. цю середню вміщуємо в середню дату між ІІ та ІІІ кварталами.

Потім інтервал згладжування зсувається на один рівень униз, повторюється розрахунок середньої арифметичної тощо. Згладжений ряд наведено в п’ятому стовпчику таблиці. Як бачимо, довжина згладженого ряду справді зменшується на (т – 1) = 3.
Для наведеного вище прикладу застосування центрованої ковзної середньої 2-го порядку дає змогу розташувати дані згідно із наявними кварталами спостережень часового ряду.
Прогнозоване значення показника на момент часу  обчислюють як ковзну середню 4-го порядку для 4-х останніх рівнів часового ряду .
.
Різниці між вхідним рядом та прогнозними значеннями дорівнюють оцінкам похибок прогнозу. 8
Метод експоненціального згладжування. Метод експоненціальногозгладжування дає можливість описати такий перебіг процесу, коли найбільшої ваги надають останньому спостереженню, а вага решти спостережень спадає геометрично. Одержана в результаті середня більше характеризує значення процесу наприкінці інтервалу згладжування, ніж на початку, і відома як експоненціально зважена середня. Так, для спостережень ,  прогноз наступного значення  має вигляд:
, ,        (3.3.6)
де підсумок усіх ваг дорівнює 1, а  — параметр згладжування.
Практичний розрахунок експоненціальної середньої здійснюють за рекурентною формулою:
або,(3.3.7)
тобто в розрахунку нової експоненціальної середньої беруть попередню експоненціальну середню та частку  від різниці між попереднім спостереженням і його згладженим значенням, тобто похибки . Так, із надходженням нового спостереження  розраховують прогноз  як експоненціальну середню  наступного значення ; параметр  обирають при цьому з умови мінімуму похибки прогнозу.

Можна показати, що математичні сподівання часового ряду  й експоненціально згладженого ряду  однакові, а дисперсія згладжених рівнів стає меншою за дисперсію початкового ряду спостережень:
, ,                    (3.3.8)
тобто якщо  наближається до одиниці, то різниця між дисперсіями невелика, однак зі зменшенням  коливання експоненціальної середньої стають більш гладкими. Тим самим експоненціальна середня відіграє роль фільтру, що поглинає коливання часового ряду.
Процедура оцінювання стандартної похибки прогнозу може здійснюватися також за методом експоненціального згладжування. Якщо похибка прогнозу оцінюється як різниця між фактичним і прогнозовим значенням , то замість обчислення суми квадратів похибок і знаходження дисперсії застосуємо інший вимір розкиду, відомий під назвою середнє абсолютне відхилення похибки (MADt) (див. (7.1)). Одним із різновидів експоненціально зваженого середнього може бути експоненціально зважена середня абсолютних похибок прогнозу:
.                        (3.3.9)
Для досить великого класу статистичних розподілів значення середнього квадратичного відхилення дещо перевищує значення середнього абсолютного відхилення і строго пропорційне йому. Константа пропорційності для різних розподілів коливається між 1,2 та 1,3 (для нормального закону розподілу це значення дорівнює ), тому
.                                  (3.3.10)
Використання методу експоненціального згладжування перед­бачає розв’язання трьох питань: вибір постійної згладжування , вибір початкового рівня згладжування ряду , вибір початкового моменту згладжування (довжини бази згладжування). Аналітичного розв’язку поставлених завдань наразі не існує, і він навряд чи можливий. Вибір характеристик згладжування має ґрун­туватися на експериментальних розрахунках і здійснюватися в кожному конкретному випадку по-різному.
Вибір постійної згладжування. Вибір параметра згладжування є основною та доволі складною проблемою. Для різних значень результати прогнозування відрізнятимуться. Якщо значення  близьке до одиниці, то під час прогнозування зважають здебільшого на основному вплив останніх спостережень; якщо близьке до нуля то вплив рівнів ряду спадає повільно, що вможливлює врахування попередніх значень.
Для розв’язання практичних завдань часто використовують
різноманітні емпіричні процедури. Наприклад, можна вибирати константу згладжування  шляхом мінімізації похибок прогнозу, які оцінюють для останньої третини ряду, використовуючи таку ітеративну процедуру:

  1. Обрати одну із характеристик оцінки якості прогнозу (див. (7.1)), наприклад: MSE, МАЕ, МАРЕ тощо.
  2. Розділити множину визначення параметра  на значення, які змінюються з певним кроком, наприклад, із кроком 0,1. Тоді маємо підмножину значень , яка дорівнює: [0; 0,1; 0,2; ...; 0,9; 1].
  3. Обрати початкове наближення, наприклад
  4. Для кожного значення із побудованої підмножини обчис­лити експоненціально згладжені середні.
  5. Розрахувати значення обраної характеристики якості прогнозу.
  6. Вибрати , для якого одержано найкращу характеристику якості прогнозу.

Аналогічно можна підібрати й довжину прогнозову бази, і початковий рівень згладжування .
Вибір початкового рівня згладжування ряду . Від вибору початкового рівня згладжування залежить поведінка наступної згладженої послідовності.Найчастіше він або дорівнює значенню першого рівня ряду , або береться на рівні середньої арифметичної ряду. Можна скористатися спеціальними формулами, розробленими Брауном (табл. 3.3.5).
Зазначимо, що чим довший ряд, тим менший вплив на результат згладжування справляє вибір .
Вибір початкового моменту згладжування (довжини бази згладжування). Проблема вибору початкової точки згладжування зумовлена від проблемою вибору сталої згладжування . Чим ближче початкова точка до поточної, тим менше інформації знадобиться для побудови прогнозу і тим ближче  до 1; чим далі початкова точка до поточної, тим менш чутливим буде прогноз до нових даних, і тим ближче  до 0.
Метод експоненціального згладжування застосовують під час короткотермінового прогнозування. Для побудови прогнозу необхідно задати лише початкову оцінку прогнозу, подальші розрахунки здійснюються автоматично мірою надходження нових даних спостережень, і прогноз не потрібно обчислювати спочатку. За цим методом згладжування не втрачаються ані початкові, ані останні рівні заданого часового ряду, тут немає точки, на якій ряд обривається. Чутливість експоненціально зваженого середнього з метою підвищення адекватності прогнозової моделі можна в будь-який момент змінити, якщо зробити іншою величину


Приклад 3.3.2.

За даними таблиці 3.3.3 спрогнозувати дохід бюджету України, використовуючи метод простого експоненціального згладжування.
Розв’язування. Задамо початкове згладжене значення I кв. 1999 на рівні 25,21875 %, тобто на рівні середнього значення показника за всі періоди спостережень, і величину  за двома варіантами:  i . Обчислюємо прогноз на II кв. 1999 р. ():
II кв. 1999 = 0,7•23,8 + 0,3•25,219 = 24,226 %.

Рис. 3.3.2. Фактичні та прогнозовані значення
доходу бюджету України

Таблиця 3.3.3

ДОХОДИ БЮДЖЕТУ ТА ОЦІНЮВАНІ ЗНАЧЕННЯ ЗА МЕТОДОМ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНОГО ЗГЛАДЖУВАННЯ


Періоди

№ квар­талу

Доходи
бюджету
у % ВВП ()

Прогноз ()

Похибка прогнозу

Прогноз ()

Похибка прогнозу

Січень-Березень 1999

1

23,8

25,21875

– 1,41875

25,21875

– 1,41875

Квітень-Червень

2

25,3

24,225625

1,074375

24,72219

0,577813

Липень-Вересень

3

22,5

24,977688

– 2,47769

24,92442

– 2,42442

Жовтень-Грудень

4

26,6

23,243306

3,356694

24,07587

2,524126

Січень-Березень 2000

5

26,1

25,592992

0,507008

24,95932

1,140682

Квітень-Червень

6

27,2

25,947898

1,252102

25,35856

1,841443

Липень-Вересень

7

25,3

26,824369

– 1,52437

26,00306

– 0,70306

Жовтень-Грудень

8

31

25,757311

5,242689

25,75699

5,24301

Січень-Березень 2001

9

26,8

29,427193

– 2,62719

27,59204

– 0,79204

Квітень-Червень

10

25,2

27,588158

– 2,38816

27,31483

– 2,11483

Липень-Вересень

11

23,2

25,916447

– 2,71645

26,57464

– 3,37464

Жовтень-Грудень

12

24,4

24,014934

0,385066

25,39351

– 0,99351

Січень-Березень 2002

13

24,9

24,28448

0,61552

25,04578

– 0,14578

Квітень-Червень

14

24,4

24,715344

– 0,31534

24,99476

– 0,59476

Липень-Вересень

15

22,1

24,494603

– 2,3946

24,78659

– 2,68659

Жовтень-Грудень

16

24,7

22,818381

1,881619

23,84629

0,853714

Січень-Березень 2003

17

 

 

 

24,14509

 

Квітень-Червень

18

 

 

 

23,60431

 

Липень-Вересень

19

 

 

 

23,46280

 

Жовтень-Грудень

20

 

 

 

22,70582

 

 

 

 

RMSE =

2,265137

RMSE =

2,136995


 

 

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.