лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Для цього типу гіперболи за  значення  зменшується мірою зростання t і асимптотично наближається до а. Такого виду криву можна застосовувати для вирівнювання й прогнозування показника, який із часом спадає до певного відмінного від нуля рівня.
За  значення  додатне, тільки якщо ;збільшення t приводить у цьому випадку і до збільшення  з асимптотичною межею, що дорівнює а. Таким типом гіперболи доцільно зображувати зростаючі процеси з насиченням.
Гіперболічна крива II типу.Цей тип гіперболи задається рівнянням
                                (3.2.20)
За  значення  прагнуть до нуля у разі необмеженого збільшення часу t; за  значення  прагне до нескінченності, якщо t наближається до a/b. Остання ситуація на практиці мало ймовірна.
Гіперболічна крива IIІ типу (проста раціональна залежність).Задається рівнянням
.                             (3.2.21)
Для цього типу гіперболи незалежно від коефіцієнта b за . Для додатних значень b значення  зростає та асимптотично прагне до величини 1/b за необмеженого збільшення t. За від’ємного b ця крива, як і гіпербола другого типу, стає нестійкою за t = a/b.
S-подібна крива. В економіці поширені процеси, які спочатку поступово зростають, прискорюються, а потім знов уповільнюють свій розвиток, прагнучи певної межі. Наприклад, процес введення промислового об’єкта до експлуатації або зміна попиту на товари, що мають межу насичення тощо. Для моделювання таких процесів використовують так звані S-подібні криві зростання, які мають вигляд:
                                (3.2.22)
Насправді ця крива має форму S тільки за від’ємного значення b та за умов, що його абсолютне значення більше за а. Якщо крива (3.2.22) справді має форму S, вона використовується для зображення повного циклу розвитку динамічних процесів. Повний цикл таких процесів починається з повільного зростання, потім настає фаза бурхливого розвитку і, нарешті, розвиток завершується періодом насичення (тобто асимптотичного наближення до величини ). Таке чергування фаз властиве багатьом соціально-економічним процесам. Для S-подібної кривої точку перегину, в якій швидкість зростання досягає максимального значення, знаходять розв’язок рівняння , де  — друга похідна за t кривою f(t). Для S-подібної кривої точкою перегину, тобто точкою, в якій зростання коефіцієнта нахилу дотичної змінюється спадом, буде точка . Утім, на практиці для опису таких процесів замість S-подібної кривої використовують більш гнучкі й адекватні криві: Гомперця та логістичну.
Крива Гомперця має такий аналітичний вираз:
,                                       (3.2.23)
де с, b — додатні параметри, причому ; параметр а — асимптота функції.
У кривій Гомперця виокремлюють чотири ділянки: на першій приріст функції незначний, на другій — збільшується, на третій ділянці приріст майже постійний, на четвертій — відбувається вповільнення темпів приросту, і функція необмежено наближається до значення а. В результаті конфігурація кривої нагадує латинську літеру S. Точкою перегину цієї кривої буде  зі значенням функції , яке дорівнює , де е = 2,71828. Логарифм цієї функції ( ) є модифікованою експонентою; логарифм відношення першого приросту до самої ординати функції лінійною функцією часу.
На підставі кривої Гомперця будується, наприклад, динаміка показників рівня життя; модифікації цієї кривої використовують у демографії для моделювання показника смертності тощо.
Логістична крива, або крива Перла-Ріда — зростаюча функція, яку найчастіше записують у вигляді
.                                  (3.2.24)
У цьому виразі і  — додатні параметри;  — граничне значення функції за нескінченного зростання часу.
Якщо взяти похідну від цієї функції, можна побачити, що швидкість зростання логістичної кривої у будь-який момент часу пропорційна досягнутому рівню функції й різниці між граничним значенням  і досягнутим рівнем. Логарифм відношення першого приросту функції до квадрата її значення (ординати) є лінійною функцією від часу.
Конфігурація графіка логістичної кривої близька до графіка кривої Гомперця, але, на відміну від останнього, логістична крива має точку симетрії, яка збігається із точкою перегину. Точка перегину дорівнює . Значення  у точці перегину дорівнює .
Метод найменших квадратів і процедури регресійного аналізу є доцільними для випадку, коли рівняння кривої зростання  піс­ля деяких перетворень можна звести до лінійної регресії. У таблиці 3.2.1. наведено криві зростання, які найчастіше спостерігаються в соціально-економічних дослідженнях, їхні математичні функції  та перетворення, необхідні для зведення функцій до лінійного вигляду.
Таблиця 3.2.1
ВИДИ КРИВИХ ЗРОСТАННЯ


Основні види кривих зростання

Математична функція

Лінеаризація функції

1

2

3

Лінійна (поліном першого ступеня)

Не потрібна

Квадратична (поліном другого ступеня)

Поліном третього ступеня

Експонента (проста)

Логарифмічна крива

S-подібна крива

Обернена логариф­мічна крива

 

Степенева

Гіперболічна крива І типу

Гіперболічна крива ІІ типу

,

Гіперболічна крива ІІІ типу

Закінчення табл. 3.2.1


1

2

3

Модифікована експонента

;
;

Крива Гомперця

Логістична крива

 

,

Як видно з таблиці 3.2.1, у практиці криволінійного вирівнювання широко використовують два види перетворень: логарифмування () і зворотне перетворення . При цьому можливі перетворення як залежної змінної , так і незалежної t або обох одночасно. Параметри S-подібних кривих (Гомперця та логістичної кривої) визначаються складнішим способом. Їх можна отримати із модифікованої експоненти, так само, як були отримані зі звичайної лінійної регресії криві, розглянуті раніше. Криві, побудовані за модифікованою експонентою, задаються трьома параметрами (замість двох параметрів у лінійній залежності). Спочатку визначають параметр с, а потім два інші параметри: а та b. У табл. 3.2.1 наведено відповідні перетворення функції Гомперця та логістичної кривої на модифіковану експоненту.
Апроксимація спостережень складними функціями дає задовіль­не наближення до фактичних спостережень, але зменшує сталість моделі на інтервалі упередження прогнозу. Тому використовувати для прогнозування такі моделі (наприклад, поліном вище другого ступеня) слід обережно. В комп’ютерних програмах викорис­товують близько двох десятків моделей. Зазначимо, що пошук параметрів функції Гомперця та логістичної кривої, через неможливість їхньої лінеаризації здійснюють методом багатовимірної числової оптимізації.
Вибір кривої зростання. Правильно встановити вид кривої, тобто вид аналітичної залежності значення показника від часу — одне з найважчих завдань. Обрана функція тренду має задовольняти такі умови: бути теоретично обґрунтованою; мати якнайменшу кількість параметрів; параметри функції повинні мати економічне тлумачення; оцінені значення тренду мають якомога менше відріз­нятися від відповідних фактичних спостережень часового ряду.
Вибір форми кривої для згладжування певною мірою залежить від мети згладжування: інтерполяції або екстраполяції. У першому випадку метою є досягнення найбільшої близькості до фактичних рівнів часового ряду. У другому — виявлення основної закономірності розвитку явища, стосовно якої можна припустити, що в майбутньому вона збережеться.
В основі вибору кривої лежить теоретичний аналіз сутності економічного явища, зміни якого відображаються часовим рядом. Іноді до уваги беруть міркування стосовно характеру зростання рівнів ряду. Так, якщо зростання випуску продукції передбачається у вигляді арифметичної прогресії, то згладжування відбувається за прямою; якщо зростання йде в геометричній прогресії, то згладжування виконують за показниковою функцією.
На практиці під час попереднього аналізу часового ряду обирають, як правило, дві-три криві зростання для подальшого дослідження і побудови трендової моделі часового ряду. Розглянемо проблему вибору виду кривої зростання для конкретного часового ряду.
Метод послідовних різниць (Тінтнера). Цей метод може бути використаний для визначення порядку (ступеня) апроксимаційного полінома, якщо, по-перше, рівні часового ряду складаються лише із двох компонент: тренду та випадкової, і, по-друге, тренд є досить гладеньким, щоб його можна було згладити поліномом певного ступеня. Алгоритм застосування методу ідентичний алгоритму визначення порядку інтеграції нестаціонарного процесу (див. 2.6) і передбачає такі кроки.
1. Розраховують різниці (прирости) до d-гo порядку включно:
;
;                                    (3.2.25)
. . . . . . . . . .
.
Для апроксимації економічних процесів зазвичай розраховують різниці до четвертого порядку.
2. Для вхідного ряду та для кожного різницевого ряду обчислюють дисперсії за такими формулами:
для вхідного ряду — ;                           (3.2.26)
для різницевого ряду d-го порядку (d = 1, 2, ...) —
,                              (3.2.27)
де  — біноміальний коефіцієнт.
3. Порівнюють значення кожної наступної дисперсії із поперед­ньою, тобто розраховують різниці , і якщо для будь-якого k ця величина не перевищує певної наперед заданої додатної величини, тобто порядок величин дисперсій однаковий, то ступінь апроксимаційного полінома має дорівнювати d – 1.
Необхідно зазначити, що для визначення тренду в економічних часових рядах не слід використовувати поліноми дуже великого порядку, оскільки отримані в такий спосіб функції згладжування відображатимуть випадкові відхилення, а не детерміновану складову, що суперечить поняттю тенденції.
Метод характеристик приросту є універсальним методом попереднього вибору кривих зростання. Він ґрунтується на використанні окремих характерних властивостей кривих, розглянутих вище. За цього методу вхідний часовий ряд попередньо згладжують методом простої змінної середньої. Наприклад, для інтервалу згладжування т = 3 згладжені рівні розраховують за формулою:
,                              (3.2.28)
причому щоб не втратити перший та останній рівні, їх згладжують за формулами:
, .          (3.2.29)
Далі обчислюють перші середні прирости
, t = 2, 3,…l, n – 1;                   (3.2.30)
другі середні прирости
,                             (3.2.31)
а також ряд похідних величин:
; ; ; .                       (3.2.32)
Відповідно до характеру зміни середніх приростів і похідних показників обирають вид кривої зростання для вхідного часового ряду [27], при цьому використовують відомості з табл. 3.2.2.
Таблиця 3.2.2.

ВИБІР КРИВОЇ ЗРОСТАННЯ ЗА ХАРАКТЕРОМ ЗМІНИ ПОКАЗНИКА

Показник

Характер зміни показника
з часом

Видкривої зростання

Перший середній при­ріст

Майже однаковий

Поліном першого поряд­ку (пряма)

Змінюється лінійно

Поліном другого порядку (парабола)

Другий середній приріст

Змінюється лінійно

Поліном третього порядку (кубічна парабола)

Майже однаковий

Проста експонента

Змінюється лінійно

Модифікована експонента

Змінюється лінійно

Крива Гомперця

Змінюється лінійно

Логістична крива

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.