лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Таблиця 2.5.2

ЧИСЛОВІ КРИТЕРІЇ

Назва критерію

Формула підрахунку

Бажаний
екстремум

Коефіцієнт детермінації

1

Скоригований коефіцієнт детермінації

1

Інформаційний крите­рій Акаїке (AIC)

Min

Інформаційний крите­рій Шварца-Ріссане­на (SIC)

Min

Критерій Ханнана-Кві­на (HQ)

Min

Прогнозовий критерій (FC)

Min

Однією із пропозицій є обчислення коефіцієнта детермінації (R2) та зваженого коефіцієнта детермінації (). Однак цей метод непридатний для різницевої змінної  у деяких моделях.
Інформаційні критерії ґрунтовані на мінімізації певних статис­тик, що мають стандартні розподіли.
Інформаційний критерій Акаїке (AIC)розглядає нелінійне компромісне співвідношення між дисперсією залишків і значенням загальної кількості оцінюваних параметрів (p + q), оскільки моделі з більшою кількістю оцінюваних параметрівможна віддати перевагу лише за пропорційно великого зменшення дисперсії залишків.
Інформаційний критерій Шварца-Ріссанена (SIC)надає більшої ваги (p + q) порівняно з АІС за п > 7, тобто зростання кількос­ті оцінюваних параметрівпотребує вагомішого зменшення дисперсії залишків для SIC, ніж для АІС.
Критерій Ханнана-Квіна (HQ). Тут вага при (p + q) є більшою за 2, якщо п > 15.
Прогнозовий критерій (FC) використовує похибку перед-
бачення.
Вибір між цими критеріями є довільним, оскільки всі статистики змінюються в одному напрямі в разі збільшення кількості оцінюваних параметрів. На практиці користуються одним із них.
Прогнозування за допомогою ARІMA моделей. В ARІMA моделях, під час прогнозування змінної для майбутнього моменту часу, лагові значення цієї змінної, які слугують пояснюючими змінними (регресорами) моделі, можна розглядати або фіксованими на вибіркових значеннях, або випадковими. Перша можливість призводить до умовного прогнозу, на кшталт множинної регресії, друга — до безумовного прогнозу. Отже, у прогнозуванні за моделлю типу ARІMA розглядають умовні та безумовні прогнози. Відомо, що умовна дисперсія випадкової величини не перевищує її безумовну дисперсію, тому точність умовного прогнозу завжди вища.
Якщо модель правильно специфіковано, то можливі два джерела помилок прогнозів: невизначеність майбутніх значень випад­кової величини , відсутність точних значень коефіцієнтів моделі (наявні тільки їхні оцінки).
Під час прогнозування за моделлю ARІMA від наявної вибірки залежать як оцінки коефіцієнтів моделі, так і значення регресорів, тому важко аналітично виразити умовну дисперсію помилки прогнозу через спостереження часового ряду. Як правило, обмежуються припущенням про те, що коефіцієнти відомі точно. Зрозуміло, що таке припущення зменшує дисперсію помилки прогнозу й тим самим збільшує уявну точність як умовного, так і безумовного прогнозів.
Для досягнення мінімуму середньоквадратичної помилки (MSE) потрібно взяти умовне математичне сподівання: .
Прогноз за моделлю MA (q): . Якщо коефіцієнти моделі точно відомі, і є значення  для , то безумовним точковим прогнозом для будь-якого моменту часу буде математичне сподівання процесу, тобто . Умов­ним прогнозом для моменту часу  буде умовне математичне сподівання:
.           (2.5.11)
Серед випадкових величин , що знаходяться ліворуч, є такі, що пов’язані зі спостереженнями. Оскільки спостереження складаються із «модельного значення» й похибки, умовні математичні сподівання усіх складових, окрім , не дорівнюють нулю.
Наприклад,  є залишком між спостереженням і розрахунком (прогнозом) за моделлю, тобто . Тому умовні математичні сподівання від усіх минулих значень випадкової складової треба замінити відповідними залишками. Так само будується прогноз на 2 й більше кроків уперед. Усі майбутні  замінюються нулями, а минулі — залишками, які можна обчис­лити. Отже, для моделі MA(q) прогноз залежить від того, які похибки були на попередніх кроках. Починаючи із кроку (+ 1) умовний прогноз є математичним сподіванням , тобто умовний прогноз збігається з безумовним.
Умовна дисперсія помилки прогнозу на 1 крок випередження становить:
                  (2.5.12)
Аналогічно дисперсія прогнозу на 2 кроки випередження до-
рівнює:
,                 (2.5.13)
а дисперсія на  кроків становить
 для .                   (2.5.14)
Якщо , дисперсія помилки умовного прогнозу стає такою самою як і для безумовного прогнозу, тобто дорівнює дисперсії випадкового процесу .
Прогноз за моделлю AR(p): . Для прогнозу на один крок уперед можна записати:
           (2.5.15)
Тобто у рівняння моделі підставляють  минулих значень реалізації часового ряду. Для прогнозу на два кроки вперед отримують:
         (2.5.16)
Математичне сподівання від випадкової похибки  знов дасть 0, умовне математичне сподівання від  дорівнює цим самим значенням, але до цього виразу входить умовне математичне сподівання від , отримане на попередньому кроці. Можна підставити його вираз і отримати розгорнуту фор­мулу через значення реалізації. Насправді зручніше розглядати рекурентне співвідношення, яке пов’язує послідовні значення прогнозу. Це співвідношення є лінійним різницевим рів­нянням порядку , і його розв’язок прагне, якщо збільшується , до величини , тобто знов таки до безумовного прогнозу.
Умовну дисперсію помилки прогнозу розраховують аналогіч­но до випадку моделі ковзної середньої, але доведення стають досить громіздкими навіть для моделей невеликого поряд-
ку. Наприклад, для моделі AR(2) без вільного члена прогноз
на один крок випередження становить: , та . Очевидно, що дисперсія помилки прогнозу на 1 крок дорівнює:
             (2.5.17)
Для прогнозу на 2 кроки відповідно отримуємо:
,
.
Дисперсія помилки прогнозу на 2 кроки випередження дорівнює:
.                                  (2.5.18)
Для прогнозу на 3 кроки отримуємо:
,

Дисперсія помилки прогнозу на 3 кроки дорівнює:
.                       (2.5.19)
Очевидно, що дисперсія помилки прогнозу збільшується з кож­ним кроком.
Значно простішими виходять вирази для дисперсії помилки прогнозу, якщо перейти від AR(p) представлення до еквівалентного MA представлення:  із необме­женою кількістю складових. Тоді дисперсію помилки прогнозу на  кроків можна виразити формулою
.                             (2.5.20)
Для загальної моделі  потрібно об’єднати все те, про що говорилося вище. За моделлю, підставляючи туди для часу  спостереження  та розраховані значення залишків, обчислюють прогнозовані значення , а для майбутніх моментів часу — замінюють залишки нулями і замість  підставляють їхні прогнозовані значення. Дисперсію помилки прогнозу обчислюють за формулою (2.5.20).
Наприклад, для моделі ARMA(1, 1):

де , , ..., , починаючи з другого коефіцієнти спадають за геометричною прогресією. Звідси легко обчислити дисперсію помилки прогнозу на  кроків:
.      (2.5.21)
Для цієї моделі дисперсія помилки прогнозу асимптотично дорівнює дисперсії часового ряду.
В усіх розглянутих випадках умовний точковий прогноз асимпто­тично наближається до математичного сподівання ряду, а дисперсія помилки прогнозу — до дисперсії ряду. Це означає, що для стаціонарного процесу вплив наявної інформації на прогноз та його точність асимптотично спадає до нуля. До того ж за збіль­шення горизонту прогнозування дисперсія помилки не перевищує дисперсії часового ряду. Цей висновок, на жаль, є наслідком нереалістичного припущення про те, що коефіцієнти моделі відомі точно.


Приклад 2.5.1.

Користуючись методикою Бокса-Дженкінса, розрахувати прогноз чисельності населення в Україні на підставі часового ряду спостережень за 24 роки.
1. Аналіз стаціонарності процесу та визначення порядку оператора різницевих перетворень  початкового ряду. Для визначення порядку різницевого оператора використовували такі засоби, як візуальний аналіз графіків процесів  та його різницевих перетворень, порівняння автокореляційної та часткової автокореляційної функцій із відповідними функціями відомих (типових) ARІMA процесів, а також емпіричний критерій, сутність якого полягає в пошуку такого значення , для якого середнє квадратичне відхилення ряду буде мінімальним. Із графіка залежності  від часу  (рис. 2.5.1) видно, що часовий ряд нестаціонарний. Тільки друге різницеве перетворення зводить початковий процес  до стаціонарного вигляду, про що свідчить рисунок 2.5.3. Із розрахунків описової статистики (табл. 2.5.2) можна дійти висновку, що мінімальне середньоквадратичне відхилення відповідає інтегрованому процесу другого порядку (d = 2). Із графіка (рис. 2.5.4) видно, що вибіркова автокореляційна функція експоненціально згасає, змінюючи знак, а часткова автокореляційна функція теж має згасаючий характер (рис. 2.5.5). Отже, ряд других різниць можна віднести до стаціонарного.

Рис. 2.5.1. Графік  
(VAR1 — чисельність населення за 24 роки)

Рис. 2.5.2. Перші різниці

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.