лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

2.5. Аналіз часових рядів Бокса-Дженкінса
Практичне використання ARMA-моделей пов’язу­ють із появою методики їхньої побудови, розробленої Г. Боксом та Г. Дженкінсом [30]. Методика передбачає такі послідовні процедури:

  • Ідентифікація моделі часового ряду.
  • Оцінювання параметрів моделі.
  • Діагностика побудованої моделі.
  • Використання моделі для прогнозування майбутніх значень часового ряду.

Ці процедури можуть неодноразово повторюватися в процесі уточнення моделі. Розглянемо кожен етап алгоритму детальніше.
Ідентифікація моделі.Під час побудови моделі аналізу часових рядів виникає проблема визначення її із мінімальною кількістю параметрів. Ця проблема має назву ідентифікація.
Визначення порядку ARMA-моделі на етапі ідентифікації складається із розв’язання двох відносно незалежних проблем:
1) аналізу стаціонарності процесу та визначення порядку  оператора переходу до послідовних різниць: ;
2) вибору параметрів р і q в моделі ARMA, яка описує стаціонарний ряд як процес авторегресії та ковзної середньої.
З’ясування стаціонарності часового ряду здійснюють за допомогою методів, розглянутих у розділі 1 частини 2. У разі нестаціо­нарності ряду для визначення порядку різницевого оператора можна скористатися емпіричним критерієм, сутність якого полягає у тому, що знаходять такі значення d, за якими вираз
                             (2.5.1)
де  — середнє значення стаціонарного процесу , , буде мінімальним. Величина критерію (2.5.1) зі збільшенням значення d зменшуватиметься доти, доки різницевий оператор не стане стаціонарним. Подальше підвищення порядку d різницевого оператора спричинить лише зростання дисперсії, а отже, збільшення її.
Систематичну складову можна також виключити з ряду, оцінивши її за методом найменших квадратів або будь-яким іншим методом згладжування часового ряду (див. розділ 3).
Коли стаціонарний ряд одержано, визначають порядок ARMA-моделі. На цьому етапі вельми корисними є графічні методи, а також порівняння автокореляційної та часткової автокореляцій­ної функції із відповідними функціями відомих ARMA-процесів, наведених у табл. 2.6.1.

Таблиця 2.6.1

ХАРАКТЕРИСТИКИ ARMA-МОДЕЛЕЙ


Модель

АКФ

ЧАКФ

Білий шум

усі нулі

усі нулі

МА(1)

нулі після r1

спадна після f11

МА(2)

нулі після r2

спадна після f22

МА(q)

нулі після rq

спадна після fqq

AR(1)

геометричнo спадна після r1

нулі після f11

AR(2)

геометричнo спадна після r2

нулі після f22

AR(p)

геометричнo спадна після rр

нулі після fрр

(1, 1)

геометричнo спадна після r1

спадна після f11

(p, q)

геометричнo спадна після rр

спадна після fqq

У загальному випадку, якщо використовують вибірку спостережень, розмір якої часто є відносно малим, можна очікувати, що точної відповідності між даними й теоретичною моделлю не буде. Це може призвести до вибору на цьому кроці двох або трьох пробних модель ARMA (p, q)моделей, які мають кілька пар часових лагів p в авторегресійному процесі та лагових змінних q у моделі ковзної середньої. Вибір із кількох моделей найдоцільнішої для подальшого аналізу й прогнозування здійснюється за допомогою методів діагностичної перевірки, що розг­лядатимуться далі.
Оцінювання параметрів моделі. Після того, як процес ідентифікації визначив початковий варіант стаціонарної модель ARMA-моделі, цю модель пристосовують до даних спостережень шляхом знаходження оцінок параметрів  та . Раніше було показано, що модель ARMA-модель порядку (р, d, q),що враховує нестаціонарні процеси, зводиться за допомогою перших різниць до стаціонарної моделі порядку (р,0, q). Тому процедура обчислення коефіцієнтів розглядається тільки для стаціонарної моделі.
Параметри AR-моделі можуть бути оцінені за допомогою звичайного методу найменших квадратів (виходять зсунуті, але консистентні оцінки), та його не можна застосувати до  або  моделей. Наприклад, для МА(1)-моделі  неможливо оцінити параметри, користуючись лише спостереженнями , оскільки невідомі значення параметрів для розра-
хунку .
Метод Бокса-Дженкінса [30] запропонували використовувати процедуру нелінійної оптимізації: процедуру пошуку на мережі (grid-search procedure). Це ітеративна процедура, в якій оцінки параметрів мінімізують суму квадратів залишків. Запишемо -модель як . Аналізуючи оцінки АКФ та ЧАКФ, можна зробити попередні припущення відносно значень параметрів. Можна використовувати вибіркове середнє (для m) та першу автокореляцію (для ). Припустімо, що вони дорівнюють 100 та 0,2. Тоді модель має вигляд . Припускаючи, що  дорівнює нулю, можна отримати оцінки  для t від 1 до п та розрахувати суму квадратів залишків . Вибір нових початкових значень для m. та  дає нове значення  суми квадратів залишків. Потім перевіряються інші початкові дані, і остаточними оцінками стають значення коефіцієнтів моделі, за якими  є мінімальним.
За часів Бокса і Дженкінса, через значні обмеження на використання комп’ютерів, для оцінювання коефіцієнтів розроблялись окремі методи для кожної моделі. Зараз учені розробили загальний метод максимальної правдоподібності, який уможлив­лює отримання консистентних та асимптотично ефективних оцінок коефіцієнтів для будь-якої моделі [29].
Головна ідея застосування методу полягає у припущенні, що дані мають деякий імовірнісний розподіл та обчислюється ймовір­ність потрібної події. Це на загал залежить від деяких невідомих параметрів. Використовуючи дані, можна максимізувати ймовірність цієї події. Коефіцієнти, за яких досягається максимум імовірності відповідної події, є необхідними оцінками параметрів. Іноді дуже важко знайти ці оцінки в аналітичному вигляді. В такому разі використовують числові методи оптимізації функції правдоподібності.
Будемо виходити зі спостережень  (для цьо-
го знадобляться  спостережень  над початковим рядом ). Запишемо модель ARMA(p, q)-процес у вигляді
.                         (2.5.2)
Цей процес містить  невідомих параметрів: .
Нехай , , , визначимо матрицю  таким чином, що . Нехай також  мають нормальний розподіл. Тоді логарифм функції правдоподібності має вигляд
.   (2.5.3)
Оцінки  отримують завдяки максимізації зазначеного логарифму функції правдоподібності. Існують також ефективніші методи обчислювання функції правдоподібності.
Функція правдоподібності. Розглянемо побудову функції правдоподібності більш детально. Нехай  — вибірка, яка має імовірнісний розподіл ,де А — набір невідомих параметрів. Припустімо, що  є незалежними, кожне із імовірнісним розподілом ,а сумісний розподіл цілої сукупності  подано формулою:
.    (2.5.4)
Для відповіді на запитання, яке самезначення А максимізує ймовірність породження моделлю саме вибірки , потрібно макси­мізувати функцію правдоподібності:
.                                  (2.5.5)
Для подальшої оптимізації необхідно точно знати розподіл вибірки. Припустімо, що аналізується модель
,
де у — часовий ряд,
X — матриця екзогенних змінних,
 — вектор збурень, який має нормальний розподіл із нульовим век­тором математичних сподівань та коваріаційною матрицею . Тоді функція правдоподібності матиме вигляд:
.                 (2.5.6)
У загальному випадку ані функція правдоподібності, ані її логарифм не є лінійними, тож знайти максимум функції правдоподібності в аналітичному вигляді дуже важко. Тому потрібно використовувати числові методи знаходження максимуму функції, наприклад метод Гауса, загальний алгоритм яких складається з таких кроків:
1) Покласти початкові значення для вектора .
2) Визначити напрям руху для , в якому значення L() збіль­шується.
3) Визначити довжину кроку й обчислити нове значення .
4) Перевірити критерій зупинки. Якщо алгоритм треба продовжити, то задаємо  й повертаємося до кроку 2.
Звичайним критерієм зупинки є , де  —наперед задане мале число.
За допомогою відповідних функцій правдоподібності відбувається тестування гіпотез. Розглянемо критерії перевірки гіпотези Н0проти альтернативної Н1у загальному випадку. Існує три основні класи тестових статистик: тест Вальда, тест за допомогою множників Лагранжа, тест на основі відношень значень функцій правдоподібностей. Усі ці критерії мають підґрунтям максимізацію функції правдоподібності. Вони є асимптотично еквівалентними. Ключовою різницею між цими трьома підходами є вибір оцінки для розрахунків. Метод відношень функцій правдоподібності є найстарішим з усіх цих тестів, він був розроблений Нейманом та Пірсоном у 1928 році. Сутність методу полягає в порівнянні значень функцій правдоподібності за умови Н0 (із обмеженнями) та без її врахування (без обмежень). Наприклад, нехай без урахування Н0оцінкою є ,при врахуванні умови Н1 оцінкою буде . Тоді
,                                     (2.5.7)
оскільки із визначення максимуму функції правдоподібності . Потрібно визначити, якою може бути величина , щоб можна було прийняти гіпотезу Н0, тобто чи є суттєвими обмеження, включені до Н0. Відповідна статистика має вигляд:
.                 (2.5.8)
Отже, для перевірки гіпотези Н0 необхідно підрахувати значення LRT та порівняти його з  — статистикою, де кількість ступенів свободи визначається кількістю обмежень у гіпотезі Н0. Якщо , то гіпотеза Н0 відхиляється.
Діагностика моделі. Після знаходження оцінок параметрів треба перевірити, чи є побудована модель адекватною. Існує
кілька різновидів критеріїв (див. розділ 7), що визначають значущість та стійкість параметрів, властивості залишків та придат­ність моделі для прогнозування. У цьому розділі розглянемо
додаткові можливості діагностики, специфічні для ARІMA-мо­делей.
Перевірка залишків. Усі теоретичні моделі містять випадкову компоненту, тож, якщо оцінена модель коректна, залишки мають бути «білим шумом». Залишки моделі отримують відніманням від реальних спостережень значень, обчислених за моделлю, тобто .
Для моделі AR(p)-процесу  послідовність залишків будують за правилом:
, .                        (2.5.8)
Зазначимо, що  не визначені для .
Для MA(q)-моделі  залишки обчислюють рекурентно:
,
,                                      (2.5.9)
 тощо, та для  .
Нарешті, для модель ARMA(p, q)-процесу маємо
,
, .        (2.5.10)
Отримані залишки треба перевірити на відповідність «білому шуму». Для цього обчислюють АКФ та ЧАКФ залишків і перевіряють їхню статистичну значущість за критеріями, розглянутими в розділі 1.1.3 (Бокса-Пірса, Льюнга-Бокса, стандартне відхилення). Інший критерій розглядає розподіл залишків, який вважають нормальним у разі малої вибірки (див. 7.1).
Критерії вибору кращої моделі. Коли задовільними виявляються кілька моделей, потрібне правило вибору між ними. Бокс і Дженкінс запропонували принцип ощадливості, згідно з яким, маючи кілька адекватних моделей, треба обрати модель із найменшою кількістю параметрів. Для використання цього принципу треба формалізувати правило компромісу між точністю пристосування моделі та кількістю її параметрів. Існує кілька підхо­дів до розв’язання цієї проблеми.
Порівняння моделей. Припустімо, що розраховано задовільну ARMA(p, q)-модель часового ряду за методом максимальної правдоподібності, причому  — максимальне значення функції правдоподібності. Тепер те саме розрахуємо для моделі ARMA(p + 1, q) та моделі ARMA (p, q + 1). Отримаємо значення  та  відповідно. Згідно зі стандартною теорією тестування функції правдоподібності (2.5.8), якщо початкова  модель ARMA(p, q) є коректною, то статистики  та  розподілені як -розподіл. Така перевірка є дуже простою. Але якщо дані сильно корелюють між собою, таке тестування може давати неправильні результати.
Числові критерії.На відміну від попередніх тестувань, числові критерії лише дають певне значення, за яким можна судити про адекватність моделі. Загальну характеристику критеріїв наведено в таблиці 2.5.2 [29].

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.