|
Модель авторегресії другого порядку AR(2), яку називають процесом Юла, задається рівнянням
 .
Знайдемо середнє та дисперсію AR(2)-процесу
 .
Автокореляції процесу дорівнюють
 ,
 ,
 для  .
Часткові автокореляції (ЧАК) дорівнюють:
 ,
 ,
 ,
 для  .
Отже, для AR(2)-процесу ЧАКФ дорівнює нулю для порядку більше двох і характеризується спадною АКФ. 8
У загальному випадку для  -процесів (2.3.1) можна показати, що АКФ геометрично спадає після  , та ЧАКФ дорівнюють нулю після  . Це дає змогу ідентифікувати можливу AR-модель за наявності інформації про вибіркову АКФ та ЧАКФ для множини спостережень змінної.
Авторегресійні моделі є дуже корисними для опису багатьох часових рядів, що трапляються у практичній діяльності. Уперше вони були побудовані для випадкових систем, які мають інерцію та перебувають під впливом сил, що повертають систему до стану рівноваги. Так, моделі другого порядку ( ) доволі точно описують поведінку приблизно циклічної природи, наприклад маятник. Область застосування AR-моделей не обмежується лише стаціонарними процесами. Користуючись різницевими перетвореннями, можна звести процес, що має тенденцію, до стаціонарного. Окрім того, можна виключити тренд, одержаний за методом найменших квадратів або будь-яким іншим методом.
2.4. Змішані ARМA- таARIMA-процеси
З метою кращого пристосування моделі до ряду спостережень інколи доцільно об’єднати в одній моделі і авторегресію, і ковзну середню. При цьому модель має бути якомога економнішою, тобто давати найкращу апроксимацію за допомогою невеликої кількості параметрів. Для досягнення цієї мети застосовують змішані моделі авторегресії — ковзної середньої або ARMA(p, q)-моделі:
 , (2.4.1)
або, використовуючи поліноми від оператора зсуву, (2.4.1) можна записати як:
 ,(2.4.2)
де  ,  .
Властивості ARMA-моделі є сумішшю властивостей ARта MA моделей. Стаціонарність ARMA (p,q)-процесу визначається лише його AR-частиною. Тому умови такі самі, як і для AR-процесу. Процес ARMA стаціонарний, якщо всі корені характеристичного рівняння AR-частини (полінома  ) за модулем не перевищують одиницю. Так само умова обернення ARMA-процесу цілком визначається умовою обернення MA-частини. Якщо MA-частина має обернену, то й для всього ARMA-процесу можна знайти обернене зображення. При цьому якщо процес ARMA стаціонарний, він, за теоремою Вольда, обов’язково має MA  -зображення нескінченного порядку. Разом із тим, він має і скінченне зображення ARMA(p,q). Добуток (2.4.2) на  дає  -зображення нескінченного порядку. Отже, ARMA(p,q) може бути зручним зображенням стаціонарного процесу і, якщо можна звести процес доARMA, то він визначається усього p + q параметрами.
Очевидно, що математичне сподівання стаціонарного ARMA(p, q)-процесу дорівнює нулю. Зазначимо, що введенням в модель (2.4.1) вільного члена  можна врахувати ненульове, але стале, математичне сподівання. Тоді математичне сподівання процесу дорівнюватиме  .
Розглянемо властивості  -моделі, яка має вигляд:
 ,
або в операторному запису:  .
Умова стаціонарності має вигляд  , умова обернення —  .
Для обчислення дисперсії процесу зручно використати  зображення, яке відповідає розкладенню Вольда:
Тоді
Для обчислення першої автокореляції помножимо  на  і візьмемо математичне сподівання від обох частин. Отримаємо  . Помножимо вираз  на  і візьмемо математичне сподівання від обох частин. Отримаємо  . Після підставлення отримаємо  . Остаточно:  .
Якщо помножити  на  і взяти математичне сподівання, отримаємо:  та  . Для всіх значень з індексом більшим, ніж порядок  -частини, отримуємо, що  . Такі самі співвідношення виконувалися і для «чистої» моделі AR-(1) і називалися рівняннями Юла-Вокера для автокореляційної функції. Отже, починаючи із другої, автокореляції ARMA(1,1)-моделі поводяться так само, щой автокореляції AR (1), але перші автокореляції цих процесів відрізняються.
Часткові автокореляції (ЧАК) дорівнюють:
 ,
та є в цілому спадними.
Результати прикладу 2.4.1 поширюються також на ARMA (p, q)-модель, звичайно, за умови стаціонарності процесу. Перші p значень автокореляційної функції визначаються через коефіцієнти AR та MA-частин, а потім значення автокореляційної функції виражаються у вигляді суми складових, що спадають за експонентою.
Для процесу ARMA (p, q), застосовуючи той самий метод знаходження добутку усіх членів (2.4.1) на  і переходу до математичних сподівань, отримуємо різницеве рівняння виду:
 , (2.4.3)
де  ; при цьому  для  . Звідси виходить, що для значень  автоковаріація та автокореляція задовольняють таким самим співвідношенням, як і в моделі  :
 ,  . (2.4.4)
Це означає, що для процесу ARMA(p, q) існує  автокореляцій  , значення яких пов’язані залежністю (2.4.3) з  параметрами ковзної середньої  та  параметрами авторегресії  . Далі, p значень  , необхідні як початкові значення для розв’язання різницевого рівняння (2.4.4), яке визначає автокореляції для великих лагів  .
Отже, за  АКФ ( ,  ) визначається поліномом  та початковими значеннями і складається із сукупності спадних експонент і (або) спадних синусоїд, а за  існують  початкових значень  ,  , які не вкладаються в цю загальну картину. Ці характеристики важливі під час ідентифікації моделі за спостереженнями над часовим рядом.
Якщо у (2.4.3) припустити, що  , маємо дисперсію процесу:
 . (2.4.5)
Розв’язуючи це рівняння разом із  рівняннями (2.4.3) для  , можна отримати  .
Царина застосування розглянутих вище параметричних лінійних моделей не обмежується лише стаціонарними процесами. Нагадаємо, що умова стаціонарності моделі (2.4.2) означає, що корені полінома  перебувають у середині одиничного кола. Природним шляхом отримання нестаціонарного процесу, що також виглядає як (2.4.2), є послабшання цього обмеження. Зокрема, у багатьох випадках соціально-економічні процеси добре описуються моделями типу (2.4.2), в яких один або кілька коренів  дорівнюють одиниці. До таких нестаціонарних процесів можна віднести часові ряди типу TS, DS та тренд-сезонні процеси, які взяттям послідовних різниць можна звести до стаціонарного виду (див. розділ 1.2 частини 2). Наприклад, нестаціонарний ряд випадкового блукання, рівняння якого має вигляд:  , після взяття першої різниці перетворюється на стаціонарний ряд:  , де  . У полінома другого ступеня:  , після взяття першої різниці ступінь поліному зменшується на одиницю:
Якщо взяти другу послідовну різницю, то одержимо стаціонарний процес:  . Отже, після того, як двічі до параболічної функції часу застосували послідовні різниці, процес перетворився на стаціонарний виду MA(2).
Наведені приклади показують, що є нестаціонарні ряди, які після взяття послідовних різниць зводяться до стаціонарних, а саме до виду ARMA. Моделі таких рядів отримали назву процеси авторегресії й інтегрованої ковзної середньої (ARMA).
Розглянемо модель
 , (2.4.6)
де, на відміну від (2.4.2),  — нестаціонарний оператор авторегресії порядку  , такий, що  коренів рівняння  дорівнюють одиниці, а решта  коренів перебувають у межах одиничного кола; оператор ковзної середньої  , як і раніше має вигляд (2.1.1), тобто має порядок  і може бути оберненим (усі його корені перебувають у межах одиничного кола). Тоді можна записати, що
 , (2.4.7)
де  — стаціонарний порядку  оператор авторегресії (тобто із коренями в межах одиничного кола). Якщо ввести оператор різниці  ;  , тоді  запишеться як  , і модель (2.4.6) можна представити у вигляді:
 .(2.4.8)
Тут d-ту різницю ряду  обчислюють за формулою:
 . (2.4.9)
Вона задовольняє рівняння
 ,(2.4.10)
тобто вже є стаціонарним оберненим процесом  . З іншого боку, якщо ввести обернений до  оператор:
 , (2.4.11)
який називають оператором підсумку ( ), то з (2.4.9) виходить, що
 , (2.4.12)
де під d-кратною ітерацією оператора S розуміють ряд
 . (2.4.13)
Отже,  , що описується рівнянням (2.4.8), можна отримати d-кратним підсумком процесу  , який, згідно із (2.4.10), є ARІMA. Тому процес, що задається моделлю (2.4.8), називають процесом ARІMA (додаючи до ARІMA термін інтегрований ( )). Якщо в (2.4.8) оператор авторегресії  має порядок  , а оператор ковзної середньої  має порядок  , то скорочено модель (2.4.8) записують як ARІMA(p,d,q). Зокрема, за  виходить змішана модель ARІMA(p,q), за  — модель авторегресії AR (p), за (0,0 q) — модель ковзної середньої MA (q). Тим самим модель ARІMA охоплює широкий клас як стаціонарних (при  ), так і нестаціонарних (при  ) процесів. На практиці d є додатним цілим, яке не перевищує 2, або нулем у разі стаціонарності  . |
