лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Приклад 2.2.1.

Модель ковзної середньої першого порядку, або MA(1):
.                        (2.2.5)
Межі для можливого значення  можна визначити, якщо записати (2.2.5) у вигляді . Виражаючи величину  через ,отримуємо
.          (2.2.6)
Щоб величина була обмеженою за збільшення , ряд у правій час­тині має сходитися, а це можливо лише за умови. Ця умова також означає існування для MA(1)-моделі оберненого оператора  у вигляді авторегресійного зображення нескінченного порядку AR(?). Якщо ,то  не є стаціонарним процесом.
Дисперсія  задається формулою
       (2.2.7)
Автоковаріація першого порядку дорівнює:
       (2.2.8)
Автоковаріація другого порядку дорівнює:
,      (2.2.9)
оскільки містить тільки добутки , . У загальному випадку для .
АКФ дорівнює
 та  для                 (2.2.10)
звідки  можна обчислити шляхом розв’язку квадратного рівняння
                                   (2.2.11)
Оскільки із двох значень , що задовольняють рівнянню (2.2.11), одне завжди більше за одиницю (за теоремою Вієтта добуток коренів дорівнює одиниці), то умові обернення завжди задовольняє лише один корінь.
Іншою характеристикою часового ряду є часткова автокореляційна функція (ЧАКФ). Сутність коефіцієнтів часткової автокореляції (КЧА) доцільно пояснити на прикладі регресії
,                        (2.2.12)
де перша цифра індексу за  відображає лаг змінної, а друга цифра позначає максимальний порядок регресії (разі у цьому 2). Тут коефіцієнт за  є КЧА другого порядку, оскільки він відображає частковий, або додатковий ефект від додавання  до рівняння, в якому є . КЧА першого порядку, , визначається зі співвідношення
.                                 (2.2.13)
Очевидно, що у (2.2.13) . У загальному випадку КЧА порядку  є коефіцієнтом  у рівнянні
.              (2.2.14)
Якщо  є білим шумом, то всі коефіцієнти у (2.2.14) дорівнюватимуть нулю, даючи нульові значення всіх КЧА.
Для моделі MA(1) КЧА першого та другого порядків можна знайти з коефіцієнтів автокореляції:
, .      (2.2.15)
Так само можна знайти КЧА вищих порядків. У результаті маємо, що для MA(1) процесу АКФ порядків вище першого дорівнюють нулю, тоді як ЧАКФ складніша і спадає приблизно як геометрична прогресія. Якщо  і, відповідно, , то часткова автокореляційна функція коливається зі зміною знака. За  та  всі значення ЧАКФ від’ємні. 8


Приклад 2.2.2.

Модель ковзної середньої другого порядку або MA(2) має вигляд:
.                           (2.2.16)
Подібно до попереднього для автоковаріацій маємо
.                            (2.2.17)
.                               (2.2.18)
.                                        (2.2.19)
 для .
Автокореляції дорівнюють:
,                                  (2.2.20)
,                                  (2.2.21)
та  для .
ЧАК знаходять підставленням коефіцієнтів автокореляції у такі рівняння:
, .                      (2.2.22)
Отже, MA(2) процес характеризується нульовими значеннями АКФ порядку більшого ніж два, і досить складною ЧАКФ, яка має спадну тенденцію. 8
2.3. Авторегресійні процеси
(
AR (p)-процеси)
Модель авторегресії описує стаціонарний процес, де значення показника  є лінійною комбінацією обмеженої кіль­кості своїх попередніх значень і випадкової складової. Наприклад, процес  можна відобразити таким чином:
,(2.3.1)
де випадкова складова  — білий шум. Модель  містить () невідомі параметри:  — дисперсію випадкової складової  та  коефіцієнтів моделі.
У цих термінах процес, обернений до , може бути позна­чений як . Якщо припустити, що обернена форма загаль­ної лінійної моделі (2.1.10) містить обмежену кількість складо­вих, тобто  за , рівняння (2.1.10) після перепозначення його коефіцієнтів матиме вигляд (2.3.1), або
,            (2.3.2)
де  — поліном від оператора зсуву  . Тепер оператор ний поліном діє на  а не на  і результат дорівнює . Тим самим маємо «дзеркальне відображення» процесу .
Як відомо, процес  завжди стаціонарний. Однак немає жодної гарантії, що -процесза будь-якими значеннями коефіцієнтів  буде стаціонарним. Для того, щоб він був стаціонарним, необхідно, щоб його можна було зобразити у вигляді розкладення Вольда, або перевести у  зображення, яке має сенс.
Вираз (2.3.2) можна розглядати як різницеве рівняння відносно  із випадковою правою частиною . Загальний розв’язок цього рівняння складається із загального розв’язку однорідного рівняння (коли немає ) та часткового розв’язку повного (неоднорідного) рівняння, який залежить від . Загальний розв’язок однорідного рівняння має такий вигляд: , де  — різні за величиною корені характеристичного рівняння, яке має вигляд: , а  — поліноми, ступінь яких на одиницю менший за кратність відповідного кореня. Розв’язок однорідного рівняння буде скінченним за умови, що корені характеристичного рівняння за модулем не перевищуватимуть . Саме за цією умовою існує оператор, обернений до оператора , тобто має сенс вираз: . Отже, процес  приймає вигляд розкладення Вольда: , з чого випливає, що цей ряд є стаціонарним. Якщо за деяким j , то розв’язок не прагне до нуля (або прямує до нескінченності), і про стаціонарність навіть не йдеться.
Необхідною та достатньою умовою стаціонарності процесу (2.3.1) є те, що всі корені характеристичного рівняння для процесу  перебувають у межах кола одиничного радіусу.
Процеси  та  мають певну схожість. Але процес  завжди стаціонарний, і умова обернена лише забезпечує йому певну корисну властивість. Для  ця умова дуже жорстка: або процес стаціонарний і зводиться до , або він не стаціонарний.
Умова, що всі корені рівняння за модулем не перевищують одиницю, еквівалентна тій, що граничні значення  та  прагнуть до нуля за необмеженого зростання .
Дослідження коренів характеристичного рівняння  можна також здійснити за допомогою аналіза автокореляційної функції. Свідоцтвом того, що це рівняння містить корінь, бли-
зький до одиниці, є поступове згасання АКФ.
Для одержання співвідношень для основних характеристик моделі  помножимо ліву та праву частини (2.3.1) на :

і взявши математичне сподівання, одержимо рекурентне співвідношення для автоковаріацій (нагадаємо, що ,  за  та ):
               (2.3.3)
Поділивши всі складові (2.3.3) на , побачимо, що автокореляції задовольняють аналогічне співвідношення:
 або , ,         (2.3.4)
а дисперсія процесу має вигляд:
.
Зазначимо, що рівняння для  подібне до рівняння, яке задовольняє сам процес . Із цих рівнянь виходить, що всі автокореляції у моделі  визначаються першими  автокореляціями ; також ними визначаються параметри . Щоб виразити  через , візьмемо рівняння (2.3.4) для  і, враховуючи, що  (кореляція часового ряду із самим собою) та  для будь-якого , побудуємо лінійну систему для обчислення коефіцієнтів моделі:
 або в матричній формі , (2.3.5)
де R — невироджена автокореляційна матриця часового ряду
, , .
Отриману систему рівнянь називають системою Юла-Вокера. З неї визначають параметри -моделі:
.                                       (2.3.6)
Практичного використання набули AR-процеси першого та другого порядків. Розглянемо приклади цього.


Приклад 2.3.1.

Модель авторегресії першого порядку AR(1) описує марківський процес:
, .
Зробимо підстановку . Тоді
.
Тепер  залежить вже не від попереднього значення , а від значення . Якщо  виразити як AR(1)-процес, то  вже буде залежати від . Повторивши процедуру підстановки j разів, отримаємо

Отже, будь-який AR(1)-процес можна записати як функцію від ко-
ефіцієнта . Розглянемо три випадки:
1) . Це означає, що за зростання j значення  також буде постійно зростати, і дуже впливовими на процес будуть значення похибок, які відбулися багато періодів назад. Таке припущення не відповідає дійсності. Процес за умови  є нестабільним і нестаціонарним;
2) . Таке припущення відповідає нестаціонарним процесам із сезонними коливаннями;
3) . Це припущення є реалістичним, оскільки найбільша вага під час визначення значень часового ряду надається його останнім елементам. Тому AR(1)-процес далі аналізується саме в такому припущенні.
Якщо число підстановок j прямує до нескінченності, то величина  прямуватиме до 0. Тоді . Узявши математичне сподівання: , , бачимо, що AR(1)-процес можна виразити через нескінченний -процес:
.
Розглянемо числові характеристики процесу. Середнє значення дорівнює

і є обмеженим, якщо  не дорівнює одиниці. Для визначення дисперсії зазначимо, що
.
Тому дисперсія  дорівнює

і розв’язавши її відносно , одержимо
.
Щоб дисперсія була додатною, необхідне виконання умови
Автоковаріація першого порядку дорівнює:

Автоковаріація другого порядку дорівнює:

та в загальному випадку
 для .
Автокореляції знаходять безпосередньо із автоковаріацій, вони дорівнюють
.
Оскільки , автокореляції є геометрично спадними для AR(1)-моделі.
Часткові автокореляції (ЧАК) дорівнюють:
,

та у загальному випадку
 для .
Отже, AR(1)-процес характеризується геометрично спадною АКФ та ЧАКФ, яка для порядків вище першого дорівнює нулю. 8

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.