Поєднання різних моделей аналізу часових рядів у межах однієї дає змогу працювати з моделями невисоких порядків, що суттєво розширює сферу практичного застосування їх. Окрім того, з’являється можливість розробляти модель за допомогою однакових статистичних характеристик — автокореляційних і часткових автокореляційних функцій, розробляти спільний алгоритм для обчислення параметрів моделі, однаковим чином будувати прогноз на підставі побудованої моделі тощо.
Загальна лінійна модель стаціонарного ряду. Будь-які різновидиARIMA-моделей є окремим випадком загальної лінійної моделі часового ряду, яка є базовою для теоретичних досліджень стаціонарних процесів. В основі її визначення лежить поняття «білого шуму».
Будемо вважати, що середнє значення стаціонарного ряду якщо це не так, то потрібно перейти до . Тоді загальна лінійна модель це стаціонарний процес у вигляді лінійної комбінації білого шуму з різними ваговими коефіцієнтами:
,(2.1.1)
де — білий шум із обмеженими математичним сподіванням та дисперсією.
Вираз (2.1.1) ще називають розкладенням Вольда аболінійним фільтром (див. 1.2.13).
Із визначення стаціонарності процесу (2.1.1) виходить, що його дисперсія — скінченне число, яке дорівнює
, (2.1.2)
і ряд має межу. Оскільки підсумовуються випадкові величини, використовують навіть сильніше припущення: для ряду має виконуватися умова збіжності за ймовірністю, тобто , і передбачається, що . Чим більший ваговий коефіцієнт , тим більший вплив випадкового збурення в момент на поточний момент t.
Автоковаріація стаціонарного процесу також має скінченне значення, яке дорівнює:
, (2.1.3)
Із моделі (2.1.1) випливають і такі властивості:
, , , . (2.1.4)
Найважливішою є перша властивість, яка означає, що рівні часового ряду не корелюють із майбутніми збуреннями .
Для вивчення властивостей часових рядів зручно використовувати оператор зсуву (лаговий оператор). Дія оператора зсуву дає значення часового ряду в попередні моменти часу. Наприклад . Послідовне застосування оператора зсуву разів дає значення часового ряду в момент часу на періодів раніше: . Іноді зручно використовувати нульову ступінь оператора зсуву: , яка виконує роль нульового оператора.
Якщо ввести оператор зсуву у рівняння (2.1.1), матимемо інший вигляд його запису:
, (2.1.5)
де лінійний оператор або операторний поліном. Коефіцієнт біля завжди дорівнює 1.
У теорії загальної лінійної моделі важливим є знаходження оберненого значення для виразу операторного полінома .
Зазначимо, що для двох операторних поліномів та можливе виконання арифметичних операцій додавання, віднімання та множення на число. Результат послідовного впливу на оператора , а потім на отриманий результат — ще й оператора , призводить до того самого результату, що й застосування до процесу добутку поліномів і : .
Для операторного багаточлена , що діє на процес , визначають обернений оператор так, щоб їхній добуток дорівнював одиничному оператору (на кшталт добутку прямої та оберненої матриць, який дорівнює одиничній матриці). Якщо , то вплив на оберненого оператора дає : . Наприклад для поліному першого порядку його добуток на обернений оператор дає одиничний оператор. Зазначимо, що , якщо необмежений ряд у дужках існує, має сенс. Отже, оберненою величиною для найпростішого лагового полінома першого порядку є поліном вигляду: , якщо права частина має сенс. Для обмеженої суми замість необме-
женого ряду маємо: .
Дія цього оператора на випадковий процес дає: . Для права частина виразу прагне до (за умов обмеження значень спостережень за випадковим процесом та ). Отже умова існування оберненого оператора для полінома першого порядку виглядає, як .
Для загальної лінійної моделі (2.1.5) може бути знайдена обернена модель. Існування оберненого оператора до операторного полінома випливає із умови
, якщо , (2.1.6)
де замість допускається підставлення комплексних чисел.
Обернений оператор до операторного полінома має вигляд
, де . (2.1.7)
Прямий та обернений оператори задовольняють умову:
. (2.1.8)
Рівняння (2.1.8) визначає коефіцієнти . Щоб побачити це, розпишемо його за допомогою оператора зсуву:
 ,
або 

Оскільки , то
звідки
, тощо. (2.1.9)
Для  , де .
Для процесу , за умови його оберненості, маємо можливість відтворити за значеннями :
, (2.1.10)
тобто значення збурення , своєю чергою, є лінійною комбінацією поточного й минулих значень . Співвідношення (2.1.10) можна переписати у вигляді
(2.1.11)
звідки випливає, що для загальної лінійної моделі, яка може бути перетворена на обернену, поточне значення процесу є лінійною комбінацією всіх його минулих значень плюс випадкове збурення , яке не корелює з цими значеннями за . Така форма загальної лінійної моделі є зручною для прогнозування майбутніх значень часового ряду, якщо відомі всі його минулі значення. Прогноз, що робиться в момент із випередженням , відповідає умовному математичному сподіванню (2.1.11), тобто , і має мінімальну середньоквадратичну похибку. Складову у (2.1.11) можна тлумачити як оптимальну лінійну незалежну функцію прогнозування (предиктор) для за всіма минулими значеннями часового ряду , а доданок — як її випадкову похибку. Зокрема, знайдена з (2.1.11) оцінка рівня ряду є прогнозом в момент на один крок уперед. Похибка прогнозу на один крок уперед дорівнює , тобто збурення , що генерують процес (2.1.1), стають похибками прогнозу на один крок уперед.
Підсумовуючи огляд загальної лінійної моделі, зазначимо, що лінійний процес (2.1.1) є стаціонарним, якщо ряд сходиться за умови , та може бути оберненим, якщо в цій самій області сходиться ряд . Модель визначається нескінченною кількістю параметрів , тому на практиці використовують різноманітні окремі випадки цієї моделі із обмеженою кількістю параметрів ( та -моделі), які розглянуто далі.
2.2. Процеси ковзної середньої
(МА(q)-процеси)
Стохастичний процес називають процесом ковзної середньої порядку , якщо до загальної моделі (2.1.1) входять лише складових. Позначимо коефіцієнти обмеженого ряду MA( ) літерою b, тоді модель ковзної середньої порядку має вигляд:
,(2.2.1)
де випадкова величина — білий шум, — лінійний оператор, та ( ) невідомих параметрів треба оцінити на підставі вибіркових спостережень.
Процес (2.2.1) — стаціонарний, оскільки є окремим випадком загальної лінійної моделі, а саме, включно до j = q дорівнюють , решта дорівнюють нулю. Назва «ковзна середня» пояснюється тим, що поточне значення випадкового процесу визначається зваженим середнім qпопередніх значень білого шуму.
Операторний багаточлен можна розкласти на множники, використовуючи корені рівняння . За основною теоремою алгебри будь-який поліном ступеня із дійсними коефіцієнтами має комплексних коренів, серед яких можуть траплятися однакові за величиною. Отже, лінійний оператор можна записати у вигляді:
,
де — корені рівняння .
— процес, відповідно, має вигляд:
.
Для використання умови обернення лінійного оператора знайде-
мо корені іншого характеристичного рівняння, а саме: . Позначимо їх . Такий запис характеристичного рівняння збігається із прийнятим у теорії різницевих лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Відмінність полягає в тому, що зазвичай різницеві рівняння містять поточний і наступні члени послідовності, а в часових рядах використовують поточний та попередні члени. Тому є два способи запису характеристичного рівняння. Перший, — відповідає загальному правилу для різницевих рівнянь. Другий, — відповідає часовим рядам. Корені цих рівнянь пов’язані між собою співвідношенням , і навпаки. Використовуючи результат теореми Вієтта, добуток коренів характеристичного рівняння дорівнює , одержимо:
.
Якщо виразити через , не зважаючи на те, що — це оператор, одержимо . І, якщо всі корені характеристичного рівняння дійсні та відмінні за величиною, операторний дріб, знаменник якого розкладений на добуток одночленів першого ступеня стосовно , можна записати у вигляді суми простих дробів виду: . Таке розкладення застосовується під час інтегрування дробів і відоме з курсу математичного аналізу. Кожна складова має вираз формули нескінченно згасаючої геометричної прогресії. У цьому випадку відіграє роль першого члена цієї прогресії, а замість множника нескінченно згасаючої геометричної прогресії знаходиться . Якщо , то перший простий дріб можна розкласти в суму нескінченно згасаючої геометричної прогресії або в необмежений степеневий ряд . Якщо така умова виконується для кожного кореня, то дорівнює сумі таких необмежених розкладень. Після приведення подібних членів можна отримати нескінченний багаточлен з певними коефіцієнтами. Перетворений процес ковзної середньої має вигляд: , де коефіцієнти знаходять через характеристичні корені . Якщо всі умови виконуються, то можна виразити через поточне й минулі значення . Зроблені перетворення мають сенс лише тоді, коли кожний дріб виду можна тлумачити як суму нескінченно згасаючої геометричної прогресії, тобто всі корені за модулем не перевищують одиниці: .
Якщо виразити через усі його минулі значення та і поділити на , маємо еквівалентне представлення . Тут процес MA( ) записано так, що поточне значення виражається через поточне значення , а замість минулих значень з’являється нескінченний ряд минулих значень . За побудовою цей процес є авторегресійним стаціонарним випадковим процесом.
Умову обернення для MA( ) процесів можна виразити через корені характеристичного рівняння : . Вона залишається незмінною і для випадку комплексних та/або кратних коренів. Ці корені зображують у вигляді точок комплексної площини. Комплексні числа, які за модулем дорівнюють одиниці, утворюють на цій площині коло одиничного радіусу. Тому умова існування оберненого оператора формулюється так: корені характеристичного поліному перебувають у межах кола одиничного радіусу. Тут і далі буде використовуватися саме ця умова оберненості MA(q)-процесів.
Альтернативним є твердження, що корені багаточлена мають перебувати поза колом одиничного радіусу. Отже, поліном також є характеристичним для процесу ковзної середньої порядку . Корені характеристичних рівнянь, заданих різним способом, пов’язані між собою співвідношенням .
За умови оберненості кожен скінченний MA( )-процесможе бути представлений у вигляді нескінченного авторегресійного процесу:
. (2.2.2)
Розглянемо сформульовані вище твердження детальніше.
Автоковаріація та дисперсія MA( ) процесу відповідно дорівнюють:
. (2.2.3)
.
Нагадаємо, що завдяки парності функції досить її визначити для .
Автокореляційна функція (АКФ) процесу має вигляд
, та для . (2.2.4)
Автокореляційну функцію використовують для визначення порядку (кількості лагових змінних) MA( )-процесу, оскільки коефіцієнти автокореляції порядку, більшого за , дорівнюють нулю.
Практичного застосування набули переважно процеси ковзної середньої першого та другого порядків. Розглянемо приклади. |