лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Поєднання різних моделей аналізу часових рядів у межах однієї дає змогу працювати з моделями невисоких порядків, що суттєво розширює сферу практичного застосування їх. Окрім того, з’являється можливість розробляти модель за допомогою однакових статистичних характеристик — автокореляційних і часткових автокореляційних функцій, розробляти спільний алгоритм для обчислення параметрів моделі, однаковим чином будувати прогноз на підставі побудованої моделі тощо.
Загальна лінійна модель стаціонарного ряду. Будь-які різно­видиARIMA-моделей є окремим випадком загальної лінійної моделі часового ряду, яка є базовою для теоретичних досліджень стаціонарних процесів. В основі її визначення лежить поняття «білого шуму».
Будемо вважати, що середнє значення стаціонарного ряду  якщо це не так, то потрібно перейти до . Тоді загальна лінійна модель це стаціонарний процес у вигляді лінійної комбінації білого шуму з різними ваговими коефіцієнтами:
,(2.1.1)
де  — білий шум із обмеженими математичним сподіванням та дисперсією.
Вираз (2.1.1) ще називають розкладенням Вольда аболінійним фільтром (див. 1.2.13).
Із визначення стаціонарності процесу (2.1.1) виходить, що його дисперсія — скінченне число, яке дорівнює
,                                    (2.1.2)
і ряд  має межу. Оскільки підсумовуються випадкові величини, використовують навіть сильніше припущення: для ряду  має виконуватися умова збіжності за ймовірністю, тобто , і передбачається, що . Чим більший ваговий коефіцієнт , тим більший вплив випадкового збурення в момент  на поточний момент t.
Автоковаріація стаціонарного процесу  також має скінченне значення, яке дорівнює:
,   (2.1.3)
Із моделі (2.1.1) випливають і такі властивості:
, , , .  (2.1.4)
Найважливішою є перша властивість, яка означає, що рівні часового ряду не корелюють із майбутніми збуреннями .
Для вивчення властивостей часових рядів зручно використовувати оператор зсуву  (лаговий оператор). Дія оператора зсуву дає значення часового ряду в попередні моменти часу. Наприклад . Послідовне застосування оператора зсуву  разів дає значення часового ряду в момент часу на  періодів раніше: . Іноді зручно використовувати нульову ступінь оператора зсуву: , яка виконує роль нульового оператора.
Якщо ввести оператор зсуву  у рівняння (2.1.1), матимемо інший вигляд його запису:
,                                     (2.1.5)
де  лінійний оператор або операторний поліном. Коефіцієнт біля  завжди дорівнює 1.
У теорії загальної лінійної моделі важливим є знаходження оберненого значення для виразу операторного полінома .
Зазначимо, що для двох операторних поліномів  та  можливе виконання арифметичних операцій додавання, віднімання та множення на число. Результат послідовного впливу на  оператора , а потім на отриманий результат — ще й оператора , призводить до того самого результату, що й застосування до процесу  добутку поліномів  і :  .
Для операторного багаточлена , що діє на процес , визначають обернений оператор так, щоб їхній добуток дорівнював одиничному оператору (на кшталт добутку прямої та оберненої матриць, який дорівнює одиничній матриці). Якщо , то вплив на  оберненого оператора дає : . Наприклад для поліному першого порядку його добуток на обернений оператор дає одиничний оператор. Зазначимо, що , якщо необмежений ряд у дужках існує, має сенс. Отже, оберненою величиною для найпростішого лагового полінома першого порядку  є поліном вигляду: , якщо права частина має сенс. Для обмеженої суми замість необме-
женого ряду маємо: .
Дія цього оператора на випадковий процес дає:  . Для  права частина виразу прагне до  (за умов обмеження значень спостережень за випадковим процесом та ). Отже умова існування оберненого оператора для полінома першого порядку виглядає, як .
Для загальної лінійної моделі (2.1.5) може бути знайдена обер­нена модель. Існування оберненого оператора до операторного полінома  випливає із умови
, якщо ,                       (2.1.6)
де замість  допускається підставлення комплексних чисел.
Обернений оператор до операторного полінома  має вигляд
, де .   (2.1.7)
Прямий та обернений оператори задовольняють умову:
.             (2.1.8)
Рівняння (2.1.8) визначає коефіцієнти . Щоб побачити це, розпишемо його за допомогою оператора зсуву:
,
або

Оскільки , то
                                       звідки
, тощо.        (2.1.9)
Для , де .
Для процесу , за умови його оберненості, маємо можливість відтворити  за значеннями :
,                  (2.1.10)
тобто значення збурення , своєю чергою, є лінійною комбінацією поточного й минулих значень . Співвідношення (2.1.10) можна переписати у вигляді
                    (2.1.11)
звідки випливає, що для загальної лінійної моделі, яка може бути перетворена на обернену, поточне значення процесу є лінійною комбінацією всіх його минулих значень плюс випадкове збурення , яке не корелює з цими значеннями  за . Така форма загальної лінійної моделі є зручною для прогнозування майбутніх значень часового ряду, якщо відомі всі його минулі значення. Прогноз, що робиться в момент  із випередженням , відповідає умовному математичному сподіванню (2.1.11), тобто , і має мінімальну середньоквадратичну похибку. Складову  у (2.1.11) можна тлумачити як оптимальну лінійну незалежну функцію прогнозування (предиктор) для  за всіма минулими значеннями часового ряду , а доданок  — як її випадкову похибку. Зокрема, знайдена з (2.1.11) оцінка рівня ряду є прогнозом в момент  на один крок уперед. Похибка прогнозу на один крок уперед дорівнює , тобто збурення , що генерують процес (2.1.1), стають похибками прогнозу на один крок уперед.
Підсумовуючи огляд загальної лінійної моделі, зазначимо, що лінійний процес (2.1.1) є стаціонарним, якщо ряд  сходиться за умови , та може бути оберненим, якщо в цій самій області сходиться ряд . Модель визначається нескінченною кількістю параметрів , тому на практиці використовують різноманітні окремі випадки цієї моделі із обмеженою кількістю параметрів ( та -моделі), які розглянуто далі.
2.2. Процеси ковзної середньої
(МА(
q)-процеси)
Стохастичний процес називають процесом ковзної середньої порядку , якщо до загальної моделі (2.1.1) входять лише  складових. Позначимо коефіцієнти обмеженого ряду MA() літерою b, тоді модель ковзної середньої порядку  має вигляд:
,(2.2.1)
де випадкова величина  — білий шум,  — лінійний оператор, та () невідомих параметрів  треба оцінити на підставі вибіркових спостережень.
Процес (2.2.1) стаціонарний, оскільки є окремим випадком загальної лінійної моделі, а саме,  включно до j = q дорівнюють , решта  дорівнюють нулю. Назва «ковзна середня» пояснюється тим, що поточне значення випадкового процесу визначається зваженим середнім qпопередніх значень білого шуму.
Операторний багаточлен  можна розкласти на множники, використовуючи корені рівняння . За основною теоремою алгебри будь-який поліном ступеня  із дійсними коефіцієнтами має  комплексних коренів, серед яких можуть траплятися однакові за величи­ною. Отже, лінійний оператор  можна записати у вигляді:
,
де  — корені рівняння .
 — процес, відповідно, має вигляд:
.
Для використання умови обернення лінійного оператора знайде-
мо корені іншого характеристичного рівняння, а саме:  . Позначимо їх . Такий запис характеристичного рівняння збігається із прийнятим у теорії різницевих лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Відмінність полягає в тому, що зазвичай різницеві рівняння містять поточний і наступні члени послідовності, а в часових рядах використовують поточний та попередні члени. Тому є два способи запису характеристичного рівняння. Перший,  — відповідає загальному правилу для різницевих рівнянь. Другий,  — відповідає часовим рядам. Корені цих рів­нянь пов’язані між собою співвідношенням , і навпаки. Використовуючи результат теореми Вієтта, добуток коренів характеристичного рівняння дорівнює , одержимо:
.
Якщо виразити  через , не зважаючи на те, що  — це оператор, одержимо . І, якщо всі корені характеристичного рівняння дійсні та відмінні за величиною, операторний дріб, знаменник якого розкладений на добуток одночленів першого ступеня стосовно , можна записати у вигляді суми простих дробів виду: . Таке розкладення застосовується під час інтегрування дробів і відоме з курсу математичного аналізу. Кожна складова має вираз формули нескінченно згасаючої геометричної прогресії. У цьому випадку  відіграє роль першого члена цієї прогресії, а замість множника нескінченно згасаючої геометричної прогресії знаходиться . Якщо , то перший простий дріб можна розкласти в суму нескінченно згасаючої геометричної прогресії або в необмежений степеневий ряд . Якщо така умова виконується для кожного кореня, то  дорівнює сумі  таких необмежених розкладень. Після приведення подібних членів можна отримати нескінченний багаточлен з певними коефіцієнтами. Перетворений процес ковзної середньої має вигляд:  , де коефіцієнти  знаходять через характеристичні корені . Якщо всі умови виконуються, то  можна виразити через поточне й минулі значення . Зроблені перетворення мають сенс лише тоді, коли кожний дріб виду  можна тлумачити як суму нескінченно згасаючої геометричної прогресії, тобто всі корені за модулем не перевищують одиниці: .
Якщо виразити  через усі його минулі значення та  і поділити на , маємо еквівалентне представлення  . Тут процес MA() записано так, що поточне значення  виражається через поточне значення , а замість  минулих значень  з’являється нескінченний ряд минулих значень . За побудовою цей процес є авторегресійним стаціонарним випадковим процесом.
Умову обернення для MA() процесів можна виразити через корені характеристичного рівняння : . Вона залишається незмінною і для випадку комплексних та/або кратних коренів. Ці корені зображують у вигляді точок комплекс­ної площини. Комплексні числа, які за модулем дорівнюють одиниці, утворюють на цій площині коло одиничного радіусу. Тому умова існування оберненого оператора формулюється так: корені характеристичного поліному  перебувають у межах кола одиничного радіусу. Тут і далі буде використовуватися саме ця умова оберненості MA(q)-процесів.
Альтернативним є твердження, що корені  багаточлена  мають перебувати поза колом одиничного радіусу. Отже, поліном  також є характеристичним для процесу ковзної середньої порядку . Корені характерис­тичних рівнянь, заданих різним способом, пов’язані між собою співвідношенням .
За умови оберненості кожен скінченний MA()-процесможе бути представлений у вигляді нескінченного авторегресійного процесу:
.                         (2.2.2)
Розглянемо сформульовані вище твердження детальніше.
Автоковаріація та дисперсія MA() процесу відповідно дорівнюють:
.                   (2.2.3)
.
Нагадаємо, що завдяки парності функції  досить її визначити для .
Автокореляційна функція (АКФ) процесу має вигляд
,  та  для .   (2.2.4)
Автокореляційну функцію використовують для визначення порядку (кількості лагових змінних) MA()-процесу, оскільки коефіцієнти автокореляції порядку, більшого за , дорівнюють нулю.
Практичного застосування набули переважно процеси ковзної середньої першого  та другого  порядків. Розглянемо приклади.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.