Поєднання різних моделей аналізу часових рядів у межах однієї дає змогу працювати з моделями невисоких порядків, що суттєво розширює сферу практичного застосування їх. Окрім того, з’являється можливість розробляти модель за допомогою однакових статистичних характеристик — автокореляційних і часткових автокореляційних функцій, розробляти спільний алгоритм для обчислення параметрів моделі, однаковим чином будувати прогноз на підставі побудованої моделі тощо.
Загальна лінійна модель стаціонарного ряду. Будь-які різновидиARIMA-моделей є окремим випадком загальної лінійної моделі часового ряду, яка є базовою для теоретичних досліджень стаціонарних процесів. В основі її визначення лежить поняття «білого шуму».
Будемо вважати, що середнє значення стаціонарного ряду  якщо це не так, то потрібно перейти до  . Тоді загальна лінійна модель це стаціонарний процес у вигляді лінійної комбінації білого шуму з різними ваговими коефіцієнтами:
 ,(2.1.1)
де  — білий шум із обмеженими математичним сподіванням та дисперсією.
Вираз (2.1.1) ще називають розкладенням Вольда аболінійним фільтром (див. 1.2.13).
Із визначення стаціонарності процесу (2.1.1) виходить, що його дисперсія — скінченне число, яке дорівнює
 , (2.1.2)
і ряд  має межу. Оскільки підсумовуються випадкові величини, використовують навіть сильніше припущення: для ряду  має виконуватися умова збіжності за ймовірністю, тобто  , і передбачається, що  . Чим більший ваговий коефіцієнт  , тим більший вплив випадкового збурення в момент  на поточний момент t.
Автоковаріація стаціонарного процесу  також має скінченне значення, яке дорівнює:
 , (2.1.3)
Із моделі (2.1.1) випливають і такі властивості:
 ,  ,  ,  . (2.1.4)
Найважливішою є перша властивість, яка означає, що рівні часового ряду не корелюють із майбутніми збуреннями  .
Для вивчення властивостей часових рядів зручно використовувати оператор зсуву  (лаговий оператор). Дія оператора зсуву дає значення часового ряду в попередні моменти часу. Наприклад  . Послідовне застосування оператора зсуву  разів дає значення часового ряду в момент часу на  періодів раніше:  . Іноді зручно використовувати нульову ступінь оператора зсуву:  , яка виконує роль нульового оператора.
Якщо ввести оператор зсуву  у рівняння (2.1.1), матимемо інший вигляд його запису:
 , (2.1.5)
де  лінійний оператор або операторний поліном. Коефіцієнт біля  завжди дорівнює 1.
У теорії загальної лінійної моделі важливим є знаходження оберненого значення для виразу операторного полінома  .
Зазначимо, що для двох операторних поліномів  та  можливе виконання арифметичних операцій додавання, віднімання та множення на число. Результат послідовного впливу на  оператора  , а потім на отриманий результат — ще й оператора  , призводить до того самого результату, що й застосування до процесу  добутку поліномів  і  :   .
Для операторного багаточлена  , що діє на процес  , визначають обернений оператор так, щоб їхній добуток дорівнював одиничному оператору (на кшталт добутку прямої та оберненої матриць, який дорівнює одиничній матриці). Якщо  , то вплив на  оберненого оператора дає  :  . Наприклад для поліному першого порядку його добуток на обернений оператор дає одиничний оператор. Зазначимо, що  , якщо необмежений ряд у дужках існує, має сенс. Отже, оберненою величиною для найпростішого лагового полінома першого порядку  є поліном вигляду:  , якщо права частина має сенс. Для обмеженої суми замість необме-
женого ряду маємо:  .
Дія цього оператора на випадковий процес дає:   . Для  права частина виразу прагне до  (за умов обмеження значень спостережень за випадковим процесом та  ). Отже умова існування оберненого оператора для полінома першого порядку виглядає, як  .
Для загальної лінійної моделі (2.1.5) може бути знайдена обернена модель. Існування оберненого оператора до операторного полінома  випливає із умови
 , якщо  , (2.1.6)
де замість  допускається підставлення комплексних чисел.
Обернений оператор до операторного полінома  має вигляд
 , де  . (2.1.7)
Прямий та обернений оператори задовольняють умову:
 . (2.1.8)
Рівняння (2.1.8) визначає коефіцієнти  . Щоб побачити це, розпишемо його за допомогою оператора зсуву:
  ,
або 
Оскільки  , то
 звідки
 , тощо. (2.1.9)
Для   , де  .
Для процесу  , за умови його оберненості, маємо можливість відтворити  за значеннями  :
 , (2.1.10)
тобто значення збурення  , своєю чергою, є лінійною комбінацією поточного й минулих значень  . Співвідношення (2.1.10) можна переписати у вигляді
 (2.1.11)
звідки випливає, що для загальної лінійної моделі, яка може бути перетворена на обернену, поточне значення процесу є лінійною комбінацією всіх його минулих значень плюс випадкове збурення  , яке не корелює з цими значеннями  за  . Така форма загальної лінійної моделі є зручною для прогнозування майбутніх значень часового ряду, якщо відомі всі його минулі значення. Прогноз, що робиться в момент  із випередженням  , відповідає умовному математичному сподіванню (2.1.11), тобто  , і має мінімальну середньоквадратичну похибку. Складову  у (2.1.11) можна тлумачити як оптимальну лінійну незалежну функцію прогнозування (предиктор) для  за всіма минулими значеннями часового ряду  , а доданок  — як її випадкову похибку. Зокрема, знайдена з (2.1.11) оцінка рівня ряду  є прогнозом в момент  на один крок уперед. Похибка прогнозу на один крок уперед дорівнює  , тобто збурення  , що генерують процес (2.1.1), стають похибками прогнозу на один крок уперед.
Підсумовуючи огляд загальної лінійної моделі, зазначимо, що лінійний процес (2.1.1) є стаціонарним, якщо ряд  сходиться за умови  , та може бути оберненим, якщо в цій самій області сходиться ряд  . Модель визначається нескінченною кількістю параметрів  , тому на практиці використовують різноманітні окремі випадки цієї моделі із обмеженою кількістю параметрів ( та  -моделі), які розглянуто далі.
2.2. Процеси ковзної середньої
(МА(q)-процеси)
Стохастичний процес називають процесом ковзної середньої порядку  , якщо до загальної моделі (2.1.1) входять лише  складових. Позначимо коефіцієнти обмеженого ряду MA( ) літерою b, тоді модель ковзної середньої порядку  має вигляд:
 ,(2.2.1)
де випадкова величина  — білий шум,  — лінійний оператор, та ( ) невідомих параметрів  треба оцінити на підставі вибіркових спостережень.
Процес (2.2.1) — стаціонарний, оскільки є окремим випадком загальної лінійної моделі, а саме,  включно до j = q дорівнюють  , решта  дорівнюють нулю. Назва «ковзна середня» пояснюється тим, що поточне значення випадкового процесу визначається зваженим середнім qпопередніх значень білого шуму.
Операторний багаточлен  можна розкласти на множники, використовуючи корені рівняння  . За основною теоремою алгебри будь-який поліном ступеня  із дійсними коефіцієнтами має  комплексних коренів, серед яких можуть траплятися однакові за величиною. Отже, лінійний оператор  можна записати у вигляді:
 ,
де  — корені рівняння  .
 — процес, відповідно, має вигляд:
 .
Для використання умови обернення лінійного оператора знайде-
мо корені іншого характеристичного рівняння, а саме:   . Позначимо їх  . Такий запис характеристичного рівняння збігається із прийнятим у теорії різницевих лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Відмінність полягає в тому, що зазвичай різницеві рівняння містять поточний і наступні члени послідовності, а в часових рядах використовують поточний та попередні члени. Тому є два способи запису характеристичного рівняння. Перший,  — відповідає загальному правилу для різницевих рівнянь. Другий,  — відповідає часовим рядам. Корені цих рівнянь пов’язані між собою співвідношенням  , і навпаки. Використовуючи результат теореми Вієтта, добуток коренів характеристичного рівняння дорівнює  , одержимо:
 .
Якщо виразити  через  , не зважаючи на те, що  — це оператор, одержимо  . І, якщо всі корені характеристичного рівняння дійсні та відмінні за величиною, операторний дріб, знаменник якого розкладений на добуток одночленів першого ступеня стосовно  , можна записати у вигляді суми простих дробів виду:  . Таке розкладення застосовується під час інтегрування дробів і відоме з курсу математичного аналізу. Кожна складова має вираз формули нескінченно згасаючої геометричної прогресії. У цьому випадку  відіграє роль першого члена цієї прогресії, а замість множника нескінченно згасаючої геометричної прогресії знаходиться  . Якщо  , то перший простий дріб можна розкласти в суму нескінченно згасаючої геометричної прогресії або в необмежений степеневий ряд  . Якщо така умова виконується для кожного кореня, то  дорівнює сумі  таких необмежених розкладень. Після приведення подібних членів можна отримати нескінченний багаточлен з певними коефіцієнтами. Перетворений процес ковзної середньої має вигляд:   , де коефіцієнти  знаходять через характеристичні корені  . Якщо всі умови виконуються, то  можна виразити через поточне й минулі значення  . Зроблені перетворення мають сенс лише тоді, коли кожний дріб виду  можна тлумачити як суму нескінченно згасаючої геометричної прогресії, тобто всі корені за модулем не перевищують одиниці:  .
Якщо виразити  через усі його минулі значення та  і поділити на  , маємо еквівалентне представлення   . Тут процес MA( ) записано так, що поточне значення  виражається через поточне значення  , а замість  минулих значень  з’являється нескінченний ряд минулих значень  . За побудовою цей процес є авторегресійним стаціонарним випадковим процесом.
Умову обернення для MA( ) процесів можна виразити через корені характеристичного рівняння  :  . Вона залишається незмінною і для випадку комплексних та/або кратних коренів. Ці корені зображують у вигляді точок комплексної площини. Комплексні числа, які за модулем дорівнюють одиниці, утворюють на цій площині коло одиничного радіусу. Тому умова існування оберненого оператора формулюється так: корені характеристичного поліному  перебувають у межах кола одиничного радіусу. Тут і далі буде використовуватися саме ця умова оберненості MA(q)-процесів.
Альтернативним є твердження, що корені  багаточлена  мають перебувати поза колом одиничного радіусу. Отже, поліном  також є характеристичним для процесу ковзної середньої порядку  . Корені характеристичних рівнянь, заданих різним способом, пов’язані між собою співвідношенням  .
За умови оберненості кожен скінченний MA( )-процесможе бути представлений у вигляді нескінченного авторегресійного процесу:
 . (2.2.2)
Розглянемо сформульовані вище твердження детальніше.
Автоковаріація та дисперсія MA( ) процесу відповідно дорівнюють:
 . (2.2.3)
 .
Нагадаємо, що завдяки парності функції  досить її визначити для  .
Автокореляційна функція (АКФ) процесу має вигляд
 ,  та  для  . (2.2.4)
Автокореляційну функцію використовують для визначення порядку (кількості лагових змінних) MA( )-процесу, оскільки коефіцієнти автокореляції порядку, більшого за  , дорівнюють нулю.
Практичного застосування набули переважно процеси ковзної середньої першого  та другого  порядків. Розглянемо приклади. |
