лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Прогнозування соціально-економічних процесів

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

1.2. Випадкові процеси та часові ряди
Основні елементи теорії випадкових процесів. Для аналізу часового ряду  порядок у послідовності  є суттєвим, тобто час виступає одним із визначальних чинників. Це відрізняє часовий ряд від звичайної випадкової вибірки, де індекси вводять лише для зручності ідентифікації. Принциповою відмінністю часового ряду від простих статистичних сукупностей є:

  • по-перше, рівні часового ряду не є незалежними. Інакше кажучи, якщо майбутні значення змінної можна визначити, то вони є функцією від минулих значень цієї змінної;
  • по-друге, рівні часового ряду неоднаково розподілені. Закон розподілу ймовірностей цих випадкових величин і, зокрема, їхні математичні сподівання та дисперсії можуть залежати від часу.

Отже, не можна поширювати властивості та правила статистичного аналізу випадкових вибіркових спостережень на часові ряди. Порушення умови незалежності між спостереженнями призводить до негативних наслідків застосування цих методів. Наприкінці 1980-х — на початку 1990-х років дослідники остаточно переконалися, що лише врахування часової структури даних про реальні економічні процеси дають змогу адекватно відобразити їх в економіко-математичних моделях. Усвідомлення цього факту зумовило перегляд багатьох макроекономічних теорій і побудов та бурхливий розвиток специфічних методів аналізу таких даних, що дістали назву аналіз часових рядів.
Потужним математичним апаратом дослідження зміни соціаль­но-економічних показників у їхній динаміці нині є теорія випадкових (стохастичних) процесів. Випадковий процес описують деякою функцією від часу, значення якої в будь-які моменти часу є випадковими величинами. Наведемо основні поняття та визначення теорії випадкових процесів, необхідні для подальшого аналізу часових рядів.
Реалізацією випадкового процесу називають послідовність  результатів спостережень  певного економічного процесу в моменти часу .
Динамічним або часовим рядом (time series) будемо називати послідовність спостережень , отриманих у рівновіддалені моменти часу, а відповідну йому ймовірнісну модель — дискретним випадковим або однофакторним стохастичним процесом.
Оскільки випадковий дискретний процес являє собою сукупність випадкових величин, то його найповнішою статистичною характеристикою є сумісна функція розподілу, або функція щільності розподілу. Щоб задати всі ймовірнісні властивості часового ряду, потрібна сукупність функцій розподілу, а саме одновимірна, дво­вимірна, тривимірна функції розподілу тощо:   . Індекси у величин  означають, що випад­кові величини розглядаються в моменти часу  і вони мають сумісну функцію розподілу. Якщо взяти інші моменти часу, то функція розподілу буде іншою. Така сукупність функцій розподілу цілковито характеризує випадковий процес.
Стаціонарні процеси. Економетричне моделювання відбувається, як правило, на підставі лише однієї реалізації випадкового процесу, тож ясно, що про оцінювання сукупності всіх функцій розподілу взагалі годі казати. Окрім того, якщо процес поводиться так, що його основні статистичні характеристики з часом змінюються, то за короткий проміжок часу спостережень про нього взагалі нічого не можна сказати. Проблема втрачає гостроту, якщо розглядати вужчий клас випадкових процесів, який дістав назву стаціонарних випадкових процесів. Під стаціонарністю розуміють такі випадкові процеси, деякі властивості яких не змі­нюються з часом.
Однією з важливіших властивостей стаціонарного випад-
кового процесу є ергодичність. Вона полягає в тому, що кож-
на окрема реалізація випадкового процесу є так би мовити «повноважним» представником усієї сукупності можливих реалі-
зацій. Звідси для ергодичних процесів основні характеристи-
ки можна приблизно розраховувати не за кількома реаліза-
ціями, як це робиться в загальному випадку, а за будь-якою однією реалізацією за доволі тривалий проміжок часу. В практичних розрахунках розглядають стаціонарний процес у широкому сенсі.
Стаціонарний часовий ряд у широкому сенсі — це процес, для якого математичне сподівання та дисперсія існують і є сталими величинами, що не змінюються в часі, а автокореляційна (автоковаріаційна) функція залежить лише від різниці між двома моментами часу  і не залежить від конкретного періоду часу. Тобто для реалізації випадкового процесу  основ­ні моменти залишаються постійними й обмеженими у разі зміні часу , для якого вони розраховуються, а саме:
математичне сподівання: , для всіх ;
дисперсія: , для всіх ;
автоковаріація порядку:
,
для всіх .
Для отримання практичних оцінок часових рядів користуються такими формулами:
математичне сподівання: ;
дисперсія: ;                                        (1.2.7)
автоковаріація порядку: .
Зрушення в часі  називають часовим лагом. Зауважимо, що ,коли  = 0, дорівнює дисперсії:  . При цьому . Можна розглядати функцію  як усі можливі значення автоковаріацій, де  перебирає цілочисельні значення від  до . Сукупність значень автоковаріацій за всіх можливих значень  називають автоковаріаційною функцією випадкового процесу. Автоковаріаційна функ­ціястаціонарного часового ряду залежить лише від різниць моментів часу (). Ця функція парна, і досить розглядати невід’ємні .

Коефіцієнт автокореляції між зрушеними на  рівнями часового ряду — це автоковаріація, розділена на корінь із добут-
ку двох дисперсій, та оскільки дисперсія стала, отримуємо просто  або . Розраховують коефіцієнт автокореляції за формулою:

.                                     (1.2.8)
Вираз (1.2.8) визначає автокореляційну функцію (АКФ)часового ряду, яка показує наскільки статистично залежними є значення часового ряду для різних зрушень  у часі (наприклад, для річних спостережень рік чи два роки тощо).Автокореляційна функція стаціонарного часового ряду залежить лише від різниці між двома моментами часу , і є парною функцією, тобто . Задаючи різні значення  = 1, 2, 3,..., отримують послідовність значень , , ,... Графік автокореляційної функції називають корелограмою. За корелограмою можна визначити запізнення, із яким зміна показника  позначається на його наступних значеннях.
У широкому сенсі оцінки наведених статистик є консистентними, тобто для них існує межа щодо ймовірності, яка збігається з їхніми справжніми значеннями для генеральної сукупності. Далі замість стаціонарності в широкому сенсі будемо просто говорити стаціонарність, оскільки інші різновиди стаціонарності не розглядатимуться.

Приклад 1.2.1.

На рис. 1.2.2 зображено часовий ряд щоквартальних значень доходів консолідованого бюджету України (млн грн) із 1999-го до 2002 року. Цей показник за 4 роки збільшився із 6008,5 до 17298,2. Аналіз середньої й середнього квадратичного відхилення, зроблений за кожен рік, свідчить, що середня величина і середнє квадратичне відхилення впродовж першого року будуть нижчими, ніж впродовж другого року тощо, і очевидно, що в останньому році, коли показник зростає до 17298,2 млн грн, його середній рівень буде вищий, ніж за перший рік.

Рис. 1.2.2. Нестаціонарний часовий ряд
Величина дисперсії й середнього квадратичного відхилення може бути функцією від значення показника. Отже, дисперсія показника, що коливається навколо 6008,5 (значення першого рівня), цілком може бути нижчою за дисперсію показника, що коливається навколо позначки 17298,2 (значення останнього рівня). Коваріація також може залежати від рівня значень даних, що аналізуються. У такому разі існує коваріація між послідовними спостереженнями.

Рис. 1.2.3. Часовий ряд доходів консолідованого бюджету,
виражений у відсотках до ВВП
На рис. 1.2.3 показано часовий ряд доходів консолідованого бюджету, виражений у відсотках до ВВП. Доходи, виражені у відсотках до ВВП, характеризуються постійними середньою, середнім квадратичним відхиленням і коваріацією спостережень, яка залежить суто від інтервалів між спостереженнями. Очевидно, ряд значень показника доходів бюджету не є стаціонарним, тоді як ряд значень відсотка до ВВП доходів бюджету може бути стаціонарним. 8
Інтуїтивно можна очікувати, що небагато (якщо взагалі знайдуться) часових рядів соціально-економічних показників будуть стаціонарними, оскільки зростаючі й спадні значення є головною рисою соціально-економічних показників.
Оптимальний предиктор і його властивості. Практика розроблення різноманітних прогнозів спирається на цілу систему методів, які стосуються оцінювання (прогнозування) величин, недоступних для безпосереднього спостереження в конкретний момент, і їх потрібно знайти за допомогою доступних для вимірювання (спостереження) супровідних величин.
Завдання стохастичного прогнозування полягає в тому, щоб за відомою сукупністю спостережень  за випадковими величинами побудувати таку функцію від цих величин, яку можна було б використати для оцінювання прогнозованої величини . При цьому  та  стохастично пов’язані, тобто мають сумісну щільність розподілу . Наприклад,  належить до майбутнього, а  — до теперішнього. Функцію  називають предиктором величини  за  
Для вимірювання точності предиктора, як правило, використовують середньоквадратичну похибку . Предик­тор, який мінімізує  в заданому класі предикторів, називають оптимальним предиктором, або прогнозом. Розроблення методів побудови оптимальних предикторів становить зміст стохастичного прогнозування. На підставі предиктора, можна одержати варіанти прогнозу, що відповідатимуть сформульованим гіпотезам та умовам, урахованим під час його побудови.
Теорія стохастичного прогнозування величини  за супровід­ними величинами  передбачає, що сумісний закон розподілу  — відомий. У практичному застосуванні точний вид залежності між  та  найчастіше невідомий і пошук найкращого предиктора обмежується лінійними прогнозами, тобто коли . Тоді оптимальний лінійний предиктор існує та збігається із функцією регресії  на , тобто задається як умовне математичне сподівання1:
.
Ця функція має максимальну кореляцію з  серед усіх лінійних предикторів. Для побудови оптимального предиктора досить знати перші та другі моменти початкового розподілу , які знаходять шляхом оброблення результатів відомих спостережень. Підставляючи ці оцінки замість теоретичних характеристик, отримують емпіричний предиктор, який використовують для прогнозування майбутніх значень
Отже, головну роль у статистичному підході до прогнозування відіграє вибір відповідної моделі. В разі наповнення її числовими параметрами вона стає безпосереднім інструментом прог­нозування — предиктором.
Білий шум (White noise). Білим шумом називають часові ряди, рівні яких мають середню, що дорівнює нулю, сталу дисперсію та нульову коваріацію послідовних спостережень, тобто нульову автокореляцію. Наприклад, залишки регресії, що задовольняють умовам теореми Гауса-Маркова, є «білим шумом»: ; ; за .
Наведене визначення білого шуму характеризує його як стаціо­нарний ряд. Хоча стаціонарний ряд необов’язково буде білим шумом, оскільки може мати середню або коваріацію, відмінні від нуля.
Якщо ~, то йдеться про гаусівський білий шум, хоча змінна білого шуму не обов’язково підпорядковується закону нор­мального розподілу. Найкращим передбаченням або прогнозом білого шуму є його нульове середнє значення. Білий шум відіграє важливу роль в аналізі часових рядів. На практиці білий шум трапляється не надто часто, але він утворює складніші процеси. Прикладом цього є процес випадкового блукання.


1 Доведення цього твердження можна знайти у [22].

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.