2.4. Завдання та методичні вказівки до
виконання лабораторних робіт
Лабораторна робота № 1
Тема: «Павутиноподібна» модель
Методичні вказівки
Нехай існує торговельна фірма, яка реалізує певний товар на ринку. Припустимо, що попит на товар на t ? му проміжку часу лінійно залежить (для спрощення) від поточної ціни Xt і випадкової змінної ut, яка враховує вплив випадкових чинників на величину попиту. Слушно припустити, що ut, має нормальний закон розподілу з нульовим значенням математичного сподівання та середньоквадратичнuм відхиленням su. Тоді, згідно з формулою (2.2.5), рівняння попиту на товар матиме вигляд:
Dt = A – BXt .
Пропозиція на t-му відрізку часу обчислюється з урахуванням навчання системи. Тому вона залежить від ціни на попередніх (t – 1)-му та (t – 2)-му відрізках часу, а також від випадкової змінної vt , яка враховує вплив випадкових чинників на величину пропозиції. Доречним є припущення, що vt має нормальний закон розподілу з нульовим значенням математичного сподівання і середньоквадратичним відхиленням sv. Отже, згідно з виразу (2.2.6), (2.2.7), для пропозиції залежність матиме такий аналітичний вигляд:
St = C + KX(r),
X(r) = Xt-1 – r(Xt-1 – Xt-2).
де r — ваговий коефіцієнт, що задовольняє умові: 0 ? r ? 1.
Рівняння локальної рівноваги на ринку, що використовується для здійснення ітерацій, згідно з формулою (2.2.8), матиме вигляд:
St = Dt. (2.4.1)
Підставивши залежності для Dt, St та Х(r) у (2.4.1) і розв’язавши рівняння відносно Хt, отримаємо:
Xt = {A – C – K[Xt-1 – r(Xt-1 – Xt-2)]}/B. (2.4.2)
Оскільки для обчислення значення ціни  необхідно знати ціни  та  для попередніх проміжків часу, то проводити обчислення згідно з рівнянням (2.4.1) є можливим лише у тому разі, коли відомі X1 та X2. Обчислювати (чи задавати) їх можна різними способами. Зокрема, можна прийняти гіпотезу, що на перших двох проміжках часу навчання відсутнє, тобто r= 0. У цьому разі легко отримати, що:
X2 = (A – C – K?X1)/B.
Значення X1 можнаобчислити, за формулою
X1 = 2(A – C)/(B + K).
Задача аналізу полягає у дослідженні характеру залежності ціни у часі; з’ясуванні, чи буде стійким стан рівноваги; знаходженні рівноважної ціни.
Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є така:
 .
Для відповіді на питання, чи завжди ітераційний процес (2.4.2) приводить до рівноваги, розглянемо ситуацію, коли r = 0, тобто пропозиція залежить лише від ціни Xt-1 (навчання в модель не закладено). У цьому разі функції попиту і пропозиції матимуть вигляд:
 ,  ,
співвідношення (2.2.9) відповідно набуде вигляду:
 , (2.4.3)
а достатньою умовою збіжності буде умова
 .
Враховуючи умови  , обчислюємо
 . (2.4.4)
Підставляючи у праву частину (2.4.4) вирази для  з (2.4.3), отримаємо
 .
Продовжуючи цей процес, отримаємо
 . (2.4.5)
З рівності (2.4.5) є очевидним, таке:
- якщо
 , то послідовність  збігається, а отже, рівновага на ринку є стійкою і можна визначити рівноважну ціну, яка з часом встановиться на ринку;
- якщо
 , то послідовність  необмежено зростає (ітераційний процес розбігається), а отже, рівновага на ринку є нестійкою і рівноважної ціни на ринку досягнуто не буде;
- якщо
 , то ітераційний процес зациклюється, а отже, рівновага буде нестійкою і рівноважної ціни на ринку досягнуто не буде.
Ітераційний процес завершується за умови  , де e — досить мале задане число.
Завдання для самостійного виконання
- Розробити алгоритм «павутиноподібної» моделі та програму його реалізації на комп’ютері.
- Провести обчислення, використовуючи задані вхідні дані.
- Проаналізувати отримані результати, зробити висновки.
Додаткове завдання. Здійснити пошук і аналіз рівноважної ціни за умови, коли кореляційно-регресійні залежності між попитом на продукцію та її ціною, а також між пропозицією та ціною подані нелінійними залежностями. Побудувати відповідний алгоритм, комп’ютерну програму та провести відповідні обчислення на підставі певних даних щодо значень параметрів моделі.
Лабораторна робота № 2
Тема: Побудова імітаційної моделі на
прикладі будівництва підприємства
Методичні вказівки
Підприємець збирається вкласти кошти в будівництво нового підприємства, котре випускатиме певну продукцію, що користується попитом на ринку. Аналогічну продукцію випускають й інші фірми, тому доведеться діяти в умовах конкуренції.
Існує можливість наближено оцінити, тобто вважати відомими, математичне сподівання (чи середнє значення) і середньоквадратичне відхилення величини витрат експлуатаційних витрат з випуску продукції. Можна також прийняти гіпотезу, за якою витрати матимуть нормальний закон розподілу із заданими параметрами.
Припускається, що місткість ринку як випадкова величина має, наприклад, також нормальний закон розподілу з відомими параметрами (математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням).
Складніше визначитися характеристики тієї частки ринку (як випадкової величини), котру може зайняти це підприємство після його введення в експлуатацію. Припустимо, що вдасться передбачити лише середню величину частки ринку. Вид розподілу здебільшого невідомий, і немає достатніх підстав для того, щоб вважати розподіл нормальним. У цьому разі доречно використати розподіли з іншого класу (наприклад, рівномірний чи інтервально — рівномірний). Доцільно розглянути кілька варіантів розподілу та проаналізувати реакцію моделі на зміни як обраних функцій розподілу, так і їх параметрів.
За показник ефективності роботи підприємства доречно обрати, зокрема, прибуток від реалізації продукції і оцінити величину гарантованого прибутку за заданого ступеня одного з кількісних показників ризику. Якщо для цього є підстави, то приймається гіпотеза, що випадкова величина прибутку має нормальний закон розподілу.
Отже, сформуємо концептуальну модель:
1. Випуск продукції пов’язаний із експлуатаційними витратами, котрі (за гіпотезою) є випадковою величиною (Rrach) з нормальним законом розподілу із заданими параметрами: математичним сподіванням mrach і середньоквадратичним відхиленням srach.
2. Місткість ринку, де має реалізуватись продукція підприємства, також є випадковою величиною (Rryn), яка має (за припущенням) нормальний закон розподілу із заданими параметрами: математичним сподіванням mryn і середньоквадратичним відхиленням sryn.
3. Частка підприємства на ринку є невизначеною і може бути задана деякою випадковою величиною (dryn) з певною функцією розподілу (наприклад інтервально-рівномірною функцією).
4. Вважатимемо, що прибуток підприємства є випадковою величиною (Rprof), котра визначається з виразу:
 (2.4.6)
де Rprof — випадкова величина прибутку підприємства; Rryn — випадкова величина місткості ринку; dryn — випадкова величина частки ринку підприємства; Rrach — випадкова величина експлуатаційних витрат підприємства.
Результуючими характеристиками моделі вважатимемо:
- суму значень
 випадкової величини Rprof для N реалізацій (імітаційних прогонів):
- суму квадратів значень
 випадкової величини прибутку для N реалізацій (імітаційних прогонів):
Показником ефективності функціонування підприємства оберемо гарантований прибуток за заданого рівня ризику, який визначатимемо за формулою
де Gprof — гарантований обсяг прибутку згідно із заданим значенням показника ризику a; mprof — оцінка математичного сподівання випадкової величини прибутку:  ;sprof — оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини прибутку:  ka — деякий коефіцієнт, що залежить від a і визначається функцією розподілу випадкової величини Rprof. Якщо є підстави прийняти гіпотезу про нормальний закон розподілу випадкової величини Rprof, то ka — квантиль нормального закону розподілу відповідно до заданого значення компоненти a вектора ризику, наприклад, якщо a = 0,1, то ka = 1,28 (визначається за таблицями інтегральної функції стандартного нормального закону розподілу).
Загальний вигляд (макет) стартової форми (як зразок) наведено на рис. 2.4.1.
У макет включено такі об’єкти управління: кілька міток із назвами об’єктів; поля для коригування вхідних даних, а також поля для виводу результатів моделювання.
Рис. 2.4.1. Макет стартової форми |
