Моделювання економіки

2.2. Ілюстративний матеріал до вивчення
тем курсу (економіко — математичні моделі,
приклади та їх розв’язання)

Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання

Економічні колізії та моделювання економіки

Спробуємо описати математичною мовою колізії, що виникають у ситуації, коли ринкові механізми зіштовхуються з монополією.
Приймемо гіпотезу, згідно з якою економічна система прагне до максимізації сумарного економічного ефекту (), тобто сумарного прибутку:
,                (2.2.1)
де Q — випуск продукту; u(Q) — функція валового економічного ефекту (корисності);  — приріст валового економічного ефекту (корисності) від кожної додаткової одиниці продукції; s(Q) — витрати на виробництво;  — приріст витрат на виробництво додаткової одиниці продукції.
Перший елемент правої частини цього виразу характеризує валовий економічний ефект, другий — витрати на виробництво всього обсягу продукції, а вираз у цілому — сумарний економічний ефект (продукт).
Легко показати, що розширення виробництва буде доцільним лише доти, доки додаткові витрати не зрівняються з додатковим валовим економічним ефектом від споживання. Математично це положення можна довести, знайшовши максимум наведеного вище виразу (2.2.1). Якщо продиференціювати  по Q і похідну прирівняти до нуля, то точкою екстремуму функції  буде точка , в якій . Точка  буде точкою максимуму функції , оскільки для функцій u(Q), s(Q) повинні виконуватись умови:
                                (2.2.2)
Тому обсяг виробництва, котрий забезпечує максимум сумарного ефекту, відповідатиме точці , у якій додатковий валовий ефект споживання дорівнює додатковим витратам на виробництво одиниці продукції.
Але в умовах ринкової економіки сумарний економічний ефект розподіляється між виробником продукції, її споживачем і бюджетом. Характер цього розподілу значною мірою визначає зацікавленість економічних суб’єктів у досягненні суспільної ефективності, тобто у досягненні точки оптимуму виробництва.
У чому ж полягають економічні інтереси виробника (l) і споживача (с)? Очевидно, що виробник зацікавлений у максимізації різниці між обсягом реалізації за ціною  та витратами:
,
де  — прибуток виробника.
Споживачеві важливо максимізувати різницю між економічним ефектом від використання продукції та ціною за неї:
,
де  — прибуток споживача.
Якщо виробник не є монополістом, тобто не в змозі вплинути на рівень цін (вільна конкуренція), тобто ціна p не залежить від Q, то максимум ефекту виробника (враховуючи умови (2.2.2)) буде досягнутий у точці, де похідна  по Q дорівнюватиме нулеві:
,
тобто, коли граничні витрати дорівнюють ціні продукції, а максимум ефекту споживача — в точці, де:

Максимум сумарного ефекту досягається за обсягу виробництва (), котрий характеризується співвідношенням:

Звідси можна зробити висновок, що виробник буде зацікавлений виробити оптимальний, з погляду народного господарства обсяг продукції (), а споживач — повністю використати цю продукцію за умови встановлення цін на рівні:

Але якщо виробник контролює значну частку ринку (випуску продукції, галузі) і має право впливати на визначення обсягів випуску продукції, то його інтереси розходяться з народногосподарськими інтересами. Формально цю суперечність можна показати таким чином. Якщо , то

Споживачі не можуть впливати на обсяги та ціну. Тобто максимум ефекту виробника буде досягнутим за умови:

Отже, цей результат свідчить, що, за можливості контролювати значну масу продукції з боку виробника, точка його оптимуму не збігається з точкою народногосподарського оптимуму.
Раціональною є гіпотеза щодо від’ємної еластичності цін і обсягу виробництва (зі зростанням обсягів виробництва ціни на продукцію знижуються), тобто .
Виробник, прагнучи до максимізації свого локального критерію, буде здебільшого зацікавлений у заморожуванні виробництва на рівні нижчому, ніж оптимальний з погляду народного господарства:
,
і, відповідно, у завищенні цін:
,
оскільки

За подібних умов державне регулювання економіки повинно забезпечити таку організаційну систему функціонування об’єктів господарювання, яка використовувала б ефективні методи вилучення певного обсягу отриманих доходів у великих виробничих об’єднань (монополій), або недопущення монопольно високих доходів. Тобто державне регулювання економіки в даному разі є необхідним.

Проблеми методології
макроекономічного аналізу

Наведемо як приклад модель розвитку економіки країни, запропоновану англійським економістом Р. Харродом. У моделі враховується один керований чинник — капітальні вкладення, а стан економіки оцінюється обсягом національного доходу.
Для математичної постановки задачі введемо такі позначення:
 — національний дохід за рік t;  — виробничі фонди за рік t;  — обсяг споживання за рік t;  — обсяг накопичення (заощаджень) за рік t;  — капітальні вкладення за рік t.
Припустимо, що функціонування економіки відбувається за таких умов:

• балансу доходів і витрат за кожний рік

;

• виключення невикористання капіталу

;

• пропорційного розподілу національного річного доходу

.
Внутрішні економічні процеси характеризуються, такими умовами: зв’язок капітальних вкладень і загальної суми виробничих фондів; зв’язок річного національного доходу і виробничих фондів.
Капітальні вкладення за рік t можна розглядати як приріст виробничих фондів або, інакше кажучи, похідна від функції виробничих фондів приймається за капітальні річні вкладення:
.
Національний дохід за кожний рік приймається рівним віддачі виробничих фондів:
.
З наведених вище рівнянь можна отримати таке співвідношення:
.
Звідси отримуємо рівняння Харрода:
.
Його розв’язком є експоненційна зміна національного доходу за річними інтервалами:
.
Попри спрощений вид математичної моделі її результат може використовуватися для загального аналізу національної економіки. Параметри a і b можуть стати керуючими параметрами щодо вибору певної стратегії розвитку економіки: максимального наближення до бажаної (раціональної) траєкторії зміни національного доходу; вибору мінімального інтервалу часу досягнення заданого рівня національного доходу.

Нелінійність математичних моделей

Розглянемо найпростішу модель популяцій — модель Мальтуса, яка ґрунтується на простому твердженні: швидкість зміни чисельності населення у часі пропорційна його поточній чисельності N(t) із коефіцієнтом пропорційності, що дорівнює різниці коефіцієнтів народжуваності  та смертності . У результаті маємо рівняння
                        (2.2.3)
Інтегрування рівняння (2.2.3) дає:

де  — початкова чисельність.
Якщо a = b, то чисельність залишається постійною, тобто в цьому разі розв’язком є рівноважна величина чисельності N(t) = N(0). За умови a < b чисельність населення знижується й прямує до нуля, коли t ®?, а за a > b — зростає за певним експоненційним законом і прямує до нескінченності, якщо t ®?. Остання обставина й слугувала підставою для побоювань Мальтуса щодо, можливого пов’язаного з перенаселенням землі у майбутньому.
Звичайно ж, як у даному прикладі, так і в низці інших випадків існує чимало очевидних обмежень щодо застосування побудованої моделі. Навіть в ідеальному випадку ізольованої біологічної популяції запропонована модель не відповідає реаліям повною мірою, хоча б зважаючи на обмежені ресурси, необхідні для її існування.
Моделі популяцій відразу ж стають нелінійними, якщо зважувати на те, що обов’язково слід враховувати обмеженість доступних популяції ресурсів. Будуючи такі моделі, вважають, що:
1) існує «рівноважна» чисельність популяції Np, котру може забезпечити навколишнє середовище (з погляду сьогодення);
2) швидкість зміни чисельності популяції пропорційна (на відміну від моделі Мальтуса) добутку чисельності популяції на величину відхилення її від рівноважного значення чисельності, тобто:
                     (2.2.4)
Співмножник  у цьому рівнянні забезпечує механізм «насичення» чисельності: за N < Np (N > Np) швидкість зростання додатна (від’ємна) і прямує до нуля, якщо N ® Np.
Розв’язок рівняння (2.2.4) за умови N(t = 0) = N(0) матиме вигляд:

або

Поведінка функції N(t) описується так званою логістичною кривою (рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Логістичні криві, що відповідають різним
значенням початкової чисельності N(0)

За будь-якого значення початкової чисельності N(0) чисельність популяції N(t) прямує до рівноважного значення Np, коли t ®?, причому тим повільніше, чим ближче N(t) до Np. Отже, рівновага у даному разі є стійкою на відміну від моделі (2.2.3). Модель (2.2.4) реалістичніше відображає динаміку популяції порівняно з моделлю Мальтуса, але вона є нелінійною й тому складнішою.
Зауважимо, що припущення щодо механізмів насичення досить часто використовуються у формуванні моделей різних економічних об’єктів і процесів як на мікро-, так і на макроекономічному рівнях.