Економіко-математична
модель міжгалузевого балансу
Балансова модель В. В. Леонтьєва базується на таких припущеннях:
1) галузі, на які розбито виробничий сектор країни, вважаються чистими. Термін «чиста галузь» означає, що продукція кожної галузі є однорідною, тобто галузь випускає продукцію тільки одного типу і різні галузі випускають різну продукцію;
2) розглядається статична, тобто така, що не змінюється протягом певного проміжку часу, технологія виробництва. Цей проміжок часу може дорівнювати одному календарному періоду (наприклад року);
3) має місце прямо пропорційна, тобто лінійна залежність між потоками продукції з однієї галузі в іншу xij та обсягами продукції Xj:
 , (2.1.48)
де  — коефіцієнти пропорційності, які називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат ( ).
З припущень В. В. Леонтьєва випливає, що коефіцієнти  , які характеризують структуру витрат, постійні:
 .
Коефіцієнти прямих матеріальних витрат показують, яку кількість продукції і-ї галузі необхідно витратити, для виробництва одиниці валової продукції j-ї галузі, якщо враховувати лише прямі витрати. Коефіцієнти прямих матеріальних витрат утворюють квадратну матрицю
 ,
яку називають матрицею коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, або технологічною матрицею.
З урахуванням формули (2.1.48) систему рівнянь балансу (2.1.47) можна записати у вигляді:
 . (2.1.49)
Позначимо через X вектор-стовпчик валової продукції та через Y вектор-стовпчик кінцевої продукції:
тоді у матричній формі система рівнянь (2.1.49) матиме вигляд:
 . (2.1.50)
Систему рівнянь (2.1.49), чи у матричній формі (2.1.50), називають економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьєва, моделлю «витрати — випуск»).
Система рівнянь (2.1.49) є початковим пунктом розрахунків у розроблені балансів на плановий період. Якщо в моделі задані обсяги кінцевої продукції всіх галузей (Yi) та існує матриця, обернена до матриці (Е — А) (матриця (Е — А) невироджена), можна визначити обсяги валової продукції кожної галузі (Хi):
X = (E — A)–1Y. (2.1.51)
Позначивши через В: B = (Е — А)–1, систему рівнянь (2.1.51) у матричній формі можна записати:
X = BY , (2.1.52)
або
 ,
де через bij позначено елементи матриці В, котрі показують, скільки необхідно виробити валової продукції і-ї галузі для випуску у сферу кінцевого використання одиниці продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів прямих витрат aij , коефіцієнти bіj називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат, оскільки вони включають у себе прямі таопосередковані витрати всіх порядків.
Продуктивність матриці прямих матеріальних витрат
Матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А має такі основні властивості:
- коефіцієнти прямих матеріальних витрат за визначенням є невід’ємними, отже, матриця А в цілому є невід’ємною: А ? 0;
- процес відтворення не можна було б здійснити, якщо б для власного відтворення в галузі витрачався більший обсяг продукту, ніж створювався. Звідси очевидно, що діагональні елементи матриці А менші за одиницю: aii <1, i = 1, ..., n.
Означення. Невід’ємну матрицю А називатимемо продуктивною, якщо існує такий невід’ємний вектор Х, що
X ? AX. (2.1.53)
Очевидно, що умова (2.1.53) означає існування невід’ємного вектора кінцевої продукції (Y ? 0) для моделі міжгалузевого балансу (2.1.50).
Щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, аби виконувалася одна з перелічених нижче умов:
- матриця (Е — А ) має бути невід’ємно оберненою, тобто повинна існувати обернена матриця (Е — А) —1 ? 0;
- матричний ряд
 має збігатися, причому
 ;
- найбільший за модулем розв’язок (власне значення l) характеристичного рівняння
 має бути строго меншим від одиниці;
- усі головні мінори матриці (Е — А) порядку від 1 до n мають бути додатними.
Модифікації основної схеми міжгалузевого балансу
Важливими аналітичними можливостями міжгалузевого методу є, зокрема, визначення прямих і повних витрат праці та розроблення на підставі цього балансових продуктово-трудових моделей. Вихідною моделлю тут виступає звітний міжпродуктовий баланс у натуральному вираженні.
Позначимо витрати живої праці для виробництва j-го продукту через Lj, а обсяг виробництва цього продукту (валовий випуск), як і раніше, через Xj. Тоді прямі витрати праці на одиницю j-го виду продукції, які називають коефіцієнтами прямої трудомісткості, можна подати формулою:
 (2.1.54)
Уведемо таке поняття, як повні витрати праці — сума прямих витрат (живої праці) та витрат уречевленої праці, які переносяться на продукт через використані засоби виробництва. Якщо позначити величину повних витрат праці на одиницю продукції j-го виду через Tj (коефіцієнти повної трудомісткості), то добутки aij Tj відображають витрати уречевленої праці, перенесеної на j-й продукт через і-й засіб виробництва. Припускається, що коефіцієнти прямих матеріальних витрат aij виражені в натуральних одиницях. Тоді повні трудові витрати на одиницю j-го виду продукції дорівнюватимуть:
 (2.1.55)
Уведемо до розгляду вектор-рядок коефіцієнтів прямої трудомісткості
i вектор-рядок коефіцієнтів повної трудомісткості
Використовуючи матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А (у натуральному вираженні), яку розглянуто вище, систему рівнянь (2.1.55) можна подати в матричному вигляді:
Зробивши відповідні математичні перетворення, отримаємо співвідношення
 ,
або використавши раніше введене позначення для матриці повних матеріальних витрат  :
 . (2.1.56)
Якщо позначити через L величину сукупних витрат живої праці за всіма видами продукції, то з урахуванням (2.1.54), (2.1.52), (2.1.56) матимемо:
 (2.1.57)
Рівняння (2.1.57) є основним балансовим рівнянням у теорії міжгалузевого балансу праці. Його економічний сенс полягає в тому, що вартість кінцевої продукції, яка оцінена за повними витратами праці, дорівнює сукупним витратам живої праці.
Основна (базова) модель міжгалузевого балансу отримала розвиток також завдяки включенню в неї показників фондомісткості продукції. В найпростішому випадку модель доповнюється окремим рядком, який подає у вартісному вираженні обсяги виробничих фондів Фj, задіяних у кожній j-й галузі (j = 1, …, n). На підставі цих даних та обсягів валової продукції всіх галузей визначаються коефіцієнти прямої фондомісткості продукції j-ї галузі:
Коефіцієнт прямої фондомісткості відображає обсяг виробничих фондів, безпосередньо задіяних у виробництві даної галузі у розрахунку на одиницю її валової продукції. На відміну від цього показника коефіцієнт повної фондомісткості Fj характеризує обсяг фондів, необхідних у всіх галузях для випуску одиниці кінцевої продукції j-ї галузі (j = 1, …, n). Для коефіцієнтів повної фондомісткості справедливою буде рівність, аналогічна рівності (2.1.55):
|
