Моделі поведінки виробників
Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовій формі через X — кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів витрат різних видів ресурсів через x = (x1, …, xn)’. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв’язок між випуском і витратами ресурсів:
X = F(x).
Припускається, що F(x) двічі неперервно диференційована, неокласична і матриця її других похідних є від’ємно визначеною.
Якщо w = (w1, …, wn) — вектор-рядок цін ресурсів, а р — ціна продукції, то кожному вектору витрат х відповідає прибуток:
П(х) = pF(x) — wx. (2.1.32)
У (2.1.32) R = pX = pF(x) — вартість річного випуску фірми або її річний дохід, C = wx — витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:
 (2.1.33)
Це задача нелінійного програмування з n умовами невід’ємності: xi ? 0, i =1,…, n. Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна—Таккера:
  .(2.1.34)
Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всі види ресурсів, тобто  , то умови (2.1.34) матимуть вигляд:
 (2.1.35)
тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його ціні.
Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат
 (2.1.36)
Це задача нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід’ємності змінних. Побудуємо функцію Лагранжа
L(x, l) = F(x) + l (C — wx),
і знайдемо її максимум за умови невід’ємності змінних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна — Таккера:
 . (2.1.37)
Як бачимо, якщо покласти  , умови (2.1.37) збігаються з умовами (2.1.34).
Аналіз реакції виробника на зміну цін випуску і ресурсів. Розглянемо систему з n рівнянь (2.1.35):
Ця система має розв’язок :
 або  (2.1.38)
Співвідношення (2.1.38) задають функцію попиту на ресурси, що визначається моделлю поведінки фірми (2.1.33). Відповідно функція пропозиції (виробництво) товарів (послуг) —
 .
Подібно до рівняння Слуцького, аналогічні рівняння описують реакцію виробника на зміну цін випуску і ресурсів.
За умови заданих цін p, w поведінка виробника визначається такими співвідношеннями (усього (n + 1) співвідношень):
Реакція виробника на зміну ціни випуску. Позначимо
 ,
 — вектор-рядок,
 — вектор-стовпчик.
Тоді рівняння
 (2.1.39)
описує реакцію виробника (зміну випуску і зміну попиту на ресурси) на зміну ціни випуску р.
Реакція виробника на зміну цін ресурсів. Нехай змінилися ціни ресурсів wk,  . Позначимо:
  ,
тоді рівняння
 (2.1.40)
являє собою реакцію виробника на зміну цін ресурсів ( — вектор-рядок, що складається з n нулів,  — одинична матриця).
Реакція виробника на одночасну зміну ціни випуску та цін ресурсів. Поєднання рівнянь (2.1.39) та (2.1.40) дає основне матричне рівняння теорії фірми:
 (2.1.41)
яке показує реакцію виробника на одночасну зміну ціни випуску і цін ресурсів.
Розв’язуючи (2.1.41) відносно зміни випуску   і зміни попиту на ресурси  , отримуємо систему рівнянь фірми відносно змін випуску і попиту на ресурси:
 .
Моделі взаємодії споживачів і виробників
Існує низка моделей встановлення рівноважної ціни на ринку одного товару. Розглянемо, зокрема, модель Еванса з неперервним часом та модель Вальраса.
Модель Еванса. Розглянемо ринок одного товару. Час t вважатимемо неперервним. Позначимо через d = d(t) = F[p(t)], s = s(t) = y[p(t)] інтегрований попит і пропозицію в момент t, а через p(t) — ціну товару в цей момент.
У моделі постулюється, що попит і пропозиція є лінійними функціями ціни:
F(p) = a — bp, a > 0, b > 0 (попит зі зростанням ціни спадає);
y(p) = a + bp, a > 0, b > 0 (пропозиція зі зростанням ціни зростає).
Крім цього, слушно вважати, що a > a (за нульової ціни попит перевищує пропозицію).
Основна гіпотеза моделі полягає в тому, що зміна ціни пропорційна різниці попиту і пропозиції:
Dp = g (d — s)Dt, g > 0.
Використовуючи зроблені припущення, можна прийти до такого диференційного рівняння щодо ціни:
 (2.1.42)
Це рівняння має стаціонарну (рівноважну) точку  (коли  ):
Розв’язок рівняння (2.1.42) має вигляд:
З виразу (2.1.42) бачимо, що за  похідна  а за  похідна  крім того,  . Отже, у першому випадку ціна досягає рівноважного значення, зростаючи, а в другому — спадаючи, при цьому рівноважна ціна  не залежить від початкової  . Рівноважна ціна є абсцисою точки перетину прямих попиту і пропозиції, тобто за такої ціни попит дорівнює пропозиції.
Дискретний аналог моделі Еванса подано на рис. 2.1.14, де зображені прямі інтегрованого попиту d = F(p) і пропозиції s = y(p) та показано механізм побудови послідовності pn, що монотонно зростаючи від початкової нерівноважної ціни  (за якої попит не дорівнює пропозиції) прямує до рівноважної ціни  . Час поділено на рівні інтервали Dt, і ціна в момент  дорівнює:
 .
Рис. 2.1.14. Дискретний аналог моделі Еванса
Модель Вальраса. Сучасна розвинута економіка складається з численних господарських одиниць та споживачів. Кожний з учасників ринку досконалої конкуренції має свої цілі, внаслідок чого виникають конфліктні ситуації. У моделі Вальраса, що включає скінченну кількість споживачів і виробників, таке вирішення конфлікту досягається через конкретний ринковий механізм, що ґрунтується на регулюючій дії системи цін.
Вітлінський В. В Зазнач. праця
|
