лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

 

Тема 10. Утворення апроксимуючих поліномів


10.1. Методичні поради до вивчення теми


Зміст теми. У темі розглядаються апроксимуючий поліном і експериментальне визначення його коефіцієнтів за допомогою методу найменших квадратів. Система нормальних рівнянь та її спрощення для умов проведення повного чи дробового факторного експерименту. Обчислення коефіцієнтів лінійної регресії. Приведення до лінійного виду апроксимуючого полінома другого степеня. Композиційний план і його матриця. Нульова і «зіркові» точки. «Зіркове» плече. Ортогональний центральний композиційний план і методи розрахунку його параметрів. Рототабельний композиційний план. Уніформність плану. Матриця планування рототабельного композиційного плану. Розрахункові формули для обчислення коефіцієнтів квадратичної регресії. Умови застосування різних композиційних планів.
Пояснення до теми. Для вивчення цієї теми слід досконало розібратися в попередній темі і з’ясувати концептуальні засади процесу апроксимації експериментально знайдених значень невідомої функції відгуку поліномами різного ступеня. Щоб дістати опис функції відгуку, виконують N спроб (повні факторні плани, дробові факторні плани), результати яких використовують для обчислення коефіцієнтів рівняння регресії. При цьому спочатку з’ясовують, як правило, чи можлива лінійна апроксимація функції відгуку в заданій області змінювання факторів. До поліномів вищого ступеня переходять в тому разі, коли лінійна модель не адекватна здобутим дослідним даним або потрібно глибше вивчити характер походження функції відгуку в околі деякої точки.
Рівняння лінійної регресії
.                                  (10.1)
Коефіцієнти регресії обчислюються методом найменших квадратів. Суму квадратів відхилень розрахункових значень вихідної величини у від спостережуваних під час експерименту запишемо у вигляді
.                         
Слід зазначити, що останній вираз можна спростити, якщо коефіцієнт  помножити на фіктивну змінну , що завжди набуває значення +1:
.                                (10.2)
Визначивши частинні похідні функції (10.2) і прирівнявши їх до нуля, дістанемо систему нормальних рівнянь для обчислення коефіцієнтів регресії, що забезпечують мінімум суми квадратів відхилень U:
                         (10.3)
де
 ;                  (10.4)
 .                      (10.5)
Розглянемо систему нормальних рівнянь (10.3) для умов проведення повного (дробового) факторного експерименту. З урахуванням властивостей нормування та ортогональності формула для обчислення коефіцієнтів  спрощується (введення фіктивної змінної не порушує цих властивостей):
= .        (10.6)
З урахуванням (10.6) систему нормальних рівнянь (10.3) можна подати у вигляді
              (10.7)
Підставляючи значення  з (10.5), дістанемо вираз для обчислення коефіцієнтів регресії:
 .              (10.8)
Зазначимо, що згідно з останнім виразом коефіцієнти лінійної регресії визначаються окремо для кожного фактора, тобто вони незалежні один від одного. Як буде показано пізніше, ця властивість є виключно важливою для оцінки впливу факторів на функцію відгуку (можна виключати чи включати різні фактори в імітаційний експеримент, залишаючи без зміни коефіцієнти регресії решти факторів.
Методом найменших квадратів так само можна обчислити й коефіцієнти регресії апроксимуючого полінома другого ступеня
              (10.9)
Рівняння (10.9) можна записати у вигляді лінійного полінома відносно нових змінних , пов’язаних з факторами системи за правилом

Після таких перетворень коефіцієнти регресії можна знайти, якщо записати систему нормальних рівнянь (10.3) і обчислити коефіцієнти  і  з урахуванням нової системи невідомих.
Наприклад, поліном другого ступеня для двофакторної моделі

перетвориться до лінійного вигляду

за допомогою системи позначень

Проте для обчислення коефіцієнтів регресії полінома другого ступеня (10.9) дворівневі факторні експерименти непридатні, тому що вектори-стовпці, які відповідають змінним і  в матриці планування, не відрізняються один від одного, а їхні елементи мають один і той самий рівень +1, тобто фіксуються під час експерименту. Отже, вплив кожного з факторів і  окремо на функцію відгуку виявити не можна. Тому для побудови поліномів другого ступеня потрібно варіювати значення факторів принаймні на трьох рівнях.
Таблиця 10.1

Матриця композиційного плану

Номер спроби

1

+1

–1

–1

+1

+1

+1

+1

2

+1

+1

–1

–1

+1

+1

+1

3

+1

–1

+1

–1

+1

+1

+1

4

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

5

+1

–1

–1

–1

+1

+1

+1

6

+1

+1

–1

+1

+1

+1

+1

7

+1

–1

+1

+1

+1

+1

+1

8

+1

+1

+1

–1

+1

+1

+1

Закінчення табл. 10.1


Номер спроби

9

+1

+

0

0

0

0

10

+1

0

0

0

0

11

+1

0

+

0

0

0

12

+1

0

0

0

0

13

+1

0

0

+

0

0

14

+1

0

0

0

0

15

+1

0

0

0

0

0

0

Оскільки до квадратних рівнянь регресії переходять, як правило, тоді, коли виявиться неадекватність лінійної апроксимації процесу, що досліджується, то з метою збереження здобутих для розрахунків лінійних коефіцієнтів регресії експериментальних даних до повного (або дробового) факторного плану додають нові точки:
нульову точку, тобто базову (центральну) точку повного чи дробового факторного плану;
«зіркові» точки, розміщені на осях кодової системи координат.
Створені таким способом плани називають композиційними. «Зіркові» точки містяться на осях координат на однаковій відстані l від центральної точки, яка називається зірковим плечем. У табл. 10.1 наведено точки композиційного плану для трьох факторів. Геометричну інтерпретацію цього плану подано на рис. 10.1, де цифрами позначені точки, в яких виконуватимуться дослідження («зіркові» точки мають номери 9 — 14).

Рис. 10.1. Геометрична інтерпретація композиційного плану (n = 3)
Значення зіркового плеча l обчислюється залежно від обраного критерію оптимальності композиційного плану. При побудові квадратних поліномів найчастіше використовуються два критерії оптимальності: ортогональність і рототабельність.
Композиційний план, вектори-стовпці матриці планування якого ортогональні, називається ортогональним центральним композиційним планом. Властивість ортогональності планів дуже істотна, оскільки дає змогу, як уже зазначалось, визначати коефіцієнти регресії незалежно один від одного. Це означає, що матриця коефіцієнтів  системи нормальних рівнянь (10.3) при ортогональності плану має діагональний вигляд.
Матриця планування ортогоналізується перетворенням квадратичних членів
                             (10.10)
У цьому разі вектор-стовпець фактора  буде ортогональним до векторів-стовпців, які відповідають факторам, тобто

З урахуванням перетворення (10.10) поліном (10.9) запишеться у вигляді

Значення зіркового плеча l обирається з умови ортогональності векторів-стовпців  і  матриці планування:
       (10.11)
Підставивши у (10.11) вираз (10.10) і виконавши перетворення, дістанемо біквадратне рівняння для визначення зіркового плеча
                        (10.12)
Зазначимо, що ця формула справджується для випадку, коли ортогональний композиційний план здобуто додаванням зіркових точок до повного факторного плану при однаковій кількості дублюючих (паралельних) спроб для всіх точок плану. Якщо число таких спроб різне, то за допомогою співвідношення (10.11) можна дістати рівняння для обчислення зіркового плеча, вважаючи кожну дублюючу спробу новою точкою композиційного плану.
Якщо композиційний план створено на підставі дробового факторного плану, то рівняння для розрахунку зіркового плеча матиме вигляд
 ND  ND                  (10.13)
де ND — число точок у дробовому факторному плані.
У табл. 10.2 наведено параметри ортогональних центральних композиційних планів для різного числа факторів, причому для дво-, три- та чотирифакторного простору використовуються повні фактор­ні плани, а для п’яти­факторного — піврепліка

Таблиця 10.2

Параметри композиційних планів

 Число факторів n

Число центральних точок N0

Загальне число спроб

Значення зіркового плеча l

Ортогональні центральні композиційні плани

2

-

9

1,0

3

-

15

1,215

4

-

25

1,414

5

-

27

1,547

Рототабельні композиційні плани

2

5

13

1,414

3

7

20

1,682

4

6

31

2,0

5

5

32

2,0

Під час планування експериментів для побудови поліномів другого ступеня поряд з ортогональними центральними композиційними планами часто застосовуються рототабельні композиційні плани, в яких зіркове плече визначається з умови рототабельності.
Рототабельні плани забезпечують однакову точність прогнозування ендогенної величини y в усіх напрямах на однаковій відстані від центра планування, тобто виконується умова
 при                      (10.14)
де R — відстань від центра плану до точки, в якій величина y обчислюється з допомогою полінома другого ступеня (10.9).
Зіркове плече, що забезпечує рототабельність композиційного плану, побудованого на підставі повного факторного плану, обчислюється за формулою
.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.