ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

З огляду на лінійну апроксимацію величина rє рівномірно розподіленою випадковою величиною на відрізку . Цю величину можна дістати за допомогою формули (8.4)
.
Номер інтервалу і, в якому міститься випадкова точка М, можна визначити, скориставшись схемою випробувань за «жеребку­ванням» для рівноймовірних подій, що утворюють повну групу.
Тому алгоритм пошуку наступного випадкового числа, яке має розподілf (x) (після виконання попередніх розрахунків щодо апроксимації початкового розподілу), може бути такий.
1. Генеруємо РВП [0, 1].
2. За допомогою  знаходимо індекс
                                 (8.11)
3. За допомогою  знаходимо
.
4. Відшукуємо наступне випадкове число
.                       (8.12)
Отже, щоб утворити випадкове число х, необхідно витратити два числа  РВП [0, 1].
Під час вивчення цієї теми особливу увагу слід приділити генеруванню нормально розподілених випадкових чисел, оскільки нормальний (гауссів) розподіл — один з найважливіших і найчастіше застосовуваних видів неперервних розподілів.
Щільність розподілу ймовірностей для нормального розподілу
                             (8.13)

де — математичне сподівання; — дисперсія.
Для генерування нормально розподілених випадкових чисел стандартний метод малоефективний, оскільки відповідний інтеграл

аналітично не обчислюється. При немашинному застосуванні методу Монте-Карло це рівняння можна розв’язати з допомогою таблиць функції Лапласа (інтеграла ймовірностей).
З огляду на специфіку розподілу (8.13) для генерування нормально розподілених випадкових чисел мало придатні також метод добору і наближений метод. Для таких цілей застосовуються інші прийоми, що враховують специфіку нормального розподілу.
Розглянемо найпоширеніші методи, що дають змогу діставати нормально розподілені випадкові числа  з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, і одиничною дисперсією. Для знаход­ження довільних нормально розподілених чисел  з математичним сподіванням  і дисперсією  достатньо виконати лінійне перетворення
                               (8.14)
Табличний спосіб. У багатьох математичних і статистичних довідниках подаються таблиці нормально розподілених випадкових чисел з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією. Вони можуть використовуватися при ручних обчисленнях та налагодженні програм. Використовуються ці таблиці таким чином: вибирається будь-яке число в таблиці, а далі числа вибираються підряд.
Використання центральної граничної теореми. Для знаход­ження нормально розподілених випадкових чисел з параметрами   можна застосувати штучний прийом, що грунту-
ється на центральній граничній теоремі.
Візьмемо n рівномірно розподілених на відрізку [–1, 1] випадкових чисел, які визначаються з послідовності РВП [0, 1] за правилом
                                   (8.15)
Нехай
                                     (8.16)
Згідно з центральною граничною теоремою при достатньо великому n величина b може вважатися нормально розподіленою випадковою величиною з параметрами


Знормуємо величину b:

Величина  є нормально розподіленою випадковою величиною з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією:
                                                                 (8.17)
Отже, знайдено випадкові числа, які мають бути застосовані в перетворенні (8.14).
Практично встановлено, що при  формула (8.17) дає хороші результати. У більшості відомих із друкованих джерел програмних генераторах нормально розподілених випадкових чисел, що грунтуються на центральній граничній теоремі, беруть  Завдяки цьому (8.17) вдається спростити:
                                                                          (8.18)
З метою прискорення процесу створення нормально розподіленої випадкової величини (тобто для зменшення n) іноді застосовують так звану корекцію. Сутність цього процесу розкривається у посібнику [1].
Генератор нормально розподілених випадкових чисел, що грунтується на (8.18), має ряд недоліків. Для обчислення кожного нормально розподіленого числа доводиться використовувати 12 рівномірно розподілених випадкових чисел. Тому в разі, коли потрібно дістати багато нормально розподілених чисел, запас чисел генератора РВП [0, 1] може бути недостат­нім. Крім того, генеровані за межі  випадкові числа не збігаються з теоретично сподіваними. Існує алгоритм, за допомогою якого можна розширити межі до . Прочитайте про це в [1]. Для генерування нормально розподілених випадкових чисел можуть бути використані й інші методі.
Метод Бокса–Маллера. Для генерування нормально розподілених випадкових чисел з параметрами  часто застосовують метод Бокса–Маллера, сутність якого полягає у такому.
Генеруємо два чергові числа  РВП [0, 1]. За допомогою пере­творень
                           (8.19)
                          (8.20)
дістаємо пару некорельованих нормально розподілених випадкових чисел  і .
Метод Марсальї–Брея є модифікацією щойно описаного методу, з допомогою якої вдається уникнути обчислень синусів і косинусів. Для цього генеруємо два числа РВП [0, 1]. Знаходимо  і  Обчислюємо величину , беручи до уваги таке:
якщо , то цикл повторюється;
якщо , то дістанемо пару нормально розподілених чисел
                                        (8.21)
                                      (8.22)
Якщо цей метод застосовується для генерування 100 пар нормально розподілених випадкових чисел, потрібно витратити в серед­ньому 127 пар випадкових чисел  РВП [0, 1].
Інші методи. У спеціальній літературі наводиться ще один метод знаходження нормально розподілених чисел. Якщо  — рівномірно розподілене на відрізку [0, 1] випадкове десяткове число, то нормально розподілене випадкове число з  дістаємо за допомогою перетворення
          (8.23)
Який із перерахованих методів імітації нормально розподілених випадкових величин належить використовувати при проведенні імітаційних експериментів цілком залежить від поставлених задач і наявних машинних ресурсів.

Література до теми

Основна

1. Ситник В. Ф., Орленко Н. С. Імітаційне моделювання: Навч. посібник. — К.: КНЕУ, 1998. — С. 65—76.
2. Сытник В. Ф. Основы машинной имитации производственних и организационно-экономических систем. — К.: УМК ВО, 1988. ? С. 65—78.

Допоміжна

3. Клейн Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. — М.: Статистика, 1978. —Т.1. — С. 30—34.
4. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. — М.: Мир, 1975. — С. 388—392.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука. — М.: Мир, 1978. — С. 388—397.
6. Харин Ю. С., Малюгин В. И., Кирлица В. П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования: Учеб. пособие. ? Минск: Дизайн ПРО, 1997. ? С. 86—95.
7. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука, 1975. — С. 39—80.
8. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1982. — С. 17—36.