лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
загрузка...
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

 

Тема 8. Генерування неперервних випадкових величин


8.1. Методичні поради до вивчення теми


Зміст теми. У темі показується, що важливим питанням у методі Монте-Карло є створення на ЕОМ випадкових чисел з довільним неперервним розподілом. Розкривається суть проблеми імітації неперервних розподілів. Обгрунтовується стандартний метод імітації. Представлені основна теорема, алгоритм стандартного методу та границі його застосування, приклади використання стандартного методу для створення послідовності випадкових чисел (рівномірно розподілених на відрізку [a, b] та з експоненціальним розподілом). Описується метод добору (відбракування), зокрема основна теорема; алгоритм методу добору і особливості його застосування. Показується можливість та доцільність наближеного формування розподілу. Описується концептуальна схема та алгоритм наближеного формування розподілів. Докладно розглядається питання генерування нормально розподілених випадкових чисел, зокрема представлено три підходи до розв’язання цієї задачі: табличний спосіб; спосіб, заснований на використанні центральної граничної теореми та корекції розрахунків; метод Бокса–Маллера; метод Марсальї–Брея.
Пояснення до теми. Важливим питанням у методі Монте-Карло є створення на ЕОМ випадкових чисел з довільним неперервним розподілом. Існує кілька способів перетворення РВП [0, 1] на інші розподіли. Найчастіше використовується спосіб, що грунтується на такій теоремі.
Теорема. Нехай — випадкова величина, рівномірно розподілена на відрізку [0, 1]. Тоді випадкова величина X, яка є розв’язком рів­няння
,                                      (8.1)
має щільність f (x).
Доведення теореми міститься в посібнику [1]. Теорема дає змогу сформулювати правило генерування випадкових чисел, що мають довільний неперервний розподіл:
1) виробляється випадкове число  РВП [0, 1];
2) випадкове число  з pозподілом f (x) є розв’язком рівняння
                                (8.2)
Таким чином, послідовність , що належить до РВП [0, 1], перетворюється на послідовність , яка має задану щільність розподілу f (x).
Приклад 1. Нехай потрібно створити послідовність випадкових чисел, рівномірно розподілених на відрізку [a, b]. Застосувавши перетворення (8.2), дістанемо:
                (8.3)
Звідси
                                 (8.4)
Приклад 2. Розглянемо імітацію випадкових величин з експоненціальним (показниковим) розподілом. Відомо, що коли ймовірність появи випадкової події в малому інтервалі часу Dt дуже мала і не залежить від появи інших подій, то інтервали часу між послідовними подіями розподіляються за експоненціальним законом:
.                 (8.5)
Наприклад, якщо в певній ситуації з чергами появи клієнтів підпорядкована пуассонівському розподілу з математичним сподіванням, що дорівнює l, то інтервали часу між їх появами мають розподіл (8.5). Цьому закону розподілу підпорядковуються багато явищ: тривалість телефонних розмов, термін служби багатьох електронних деталей, час надходження замовлень на підприємства обслуговування, час прибуття літаків до аеропорту тощо.
Підставляючи (8.5) в (8.2), маємо

Звідси

Величина  також має рівномірний розподіл на відрізку [0, 1]:

Тому вираз для хі можна записати простіше:
                                 (8.6)
Формула (8.6) використовується практично в усіх стандартних підпрограмах імітації розподілів виду (8.5).
Слід зазначити, що стандартний метод імітації неперервних розподілів доцільно застосовувати лише в разі виконання таких умов:
1) інтеграл (8.2) можна взяти (подати в квадратурах);
2) здобуте після інтегрування рівняння розв’язується щодо невідомого
3) остаточна формула не потребує значних витрат машинного часу для її реалізації.
Якщо такі умови не виконуються, то для імітації неперервних випадкових величин застосовують інші методи. Серед таких методів слід виділити метод добору (відбракування),суть якого полягає в такому.
Нехай потрібно дістати послідовність  реалізації випадкової величини X, щільність розподілу ймовірностей якої обмежена  на скінченному відрізку [а, b] (якщо такі умови не виконуються, то початковий розподіл завжди можна зрізати із заданою точністю). Таку послідовність випадкових чисел можна знайти методом добору (відбракування). Це означає, що шукана сукупність чисел являє собою деяку вибірку із спеціально утвореної множини випадкових чисел, а саме: з початкової множини вилучаються числа, що не задовольняють певну умову. Отже, сутність методу полягає ось у чому.
Нехай створено чергові числа  РВП [0, 1]. Виконаємо перетворення
                                (8.7)
                                            (8.8)
Згідно з (8.4) випадкова величина x' рівномірно розподілена на відрізку [a, b]; y — на відрізку [0, c]. Має місце така теорема.
Теорема. Випадкова величина x, визначена умовою
, якщо                      (8.9)
має щільність розподілу
Доведення міститься у посібниках [1] та [2].
З допомогою цієї теореми можна побудувати доволі простий алгоритм генерування чергового випадкового числа , що має розподіл f (x).
1. Генеруємо наступні два числа  РВП [0, 1].
2. Обчислюємо
 
3. Перевіряємо умову  Якщо умова виконується, то переходимо до п. 4, у противному разі до індексу i додаємо 1 і переходимо до п. 1.
4. Формуємо чергове випадкове число  за правилом

Основне співвідношення (8.2), як уже зазначалося, ефективне не для всіх розподілів. Метод добору для деяких функцій щільності ймовірності може бути складним щодо числових розрахунків. У такому разі зручно використовувати наближений спосіб перетворення РВП [0, 1] на випадкові числа з іншим розподілом. Розглянемо сутність цього способу.
Залежність щільності розподілу від можливих значень випадкової величини х зобразимо графічно на відрізку, де х змінюється від a до b  Якщо межі інтервалу змінювання випадкової величини нескінченні, то початковий розподіл зрізуємо із заданою точністю. Зокрема, шукана графічна залежність може бути й експериментальною.
Розіб’ємо відрізок [a, b] на n частин (рис. 8.1) таких, що
 =  = . . . = =
де  — координата точки розбиття.

Рис. 8.1. Графік апроксимації функції щільності розподілу

З урахуванням цього ймовірність випадкової події, яка полягає в тому, що випадкова величина X потрапить в один з інтервалів, подається у вигляді

випадкова точка може потрапити на будь-який відрізок з однаковою ймовір­ністю.
Функцію щільності f (x) апроксимуємо східчастою функцією так, щоб значення f (x) у кожному інтервалі були сталою величиною.
Координату випадкової точки М, яка потрапила на і-й інтервал, можна подати у вигляді
                                      (8.10)
де r — відстань точки М від лівого кінця інтервалу.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2017 BPK Group.