лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Дискретний аналіз

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

З кількох множин можна утворити іншу множину шляхом операцій над ними. Основними операціями над множинами є бінарні операції (коли з двох множин утворюється третя) об’єднан­ня, перетин, різниця; як унарну операцію (із однієї множини утворюється інша) можна розглядати доповнення.
Крім порожньої множини, також часто використовується поняття універсальної множини (позначається U або 1), яка містить певні множини та всі множини, утворені в результаті операцій над даними множинами.
Для графічної ілюстрації співвідношень між підмножинами деякої універсальної множини часто використовують так звані діаграми Ейлера—Вена. На цих діаграмах універсальна множина зображується множиною точок деякого прямокутника, а її під-
множина — у вигляді круга або будь-якої області в середині цього прямокутника.
Приклади:


А — підмножина універсальної множини U.
A I U.
Приклад: U = {?,{1},{2},{1,2}}, A = {{1},{1,2}}.

Об’єднання (додавання) множин.
A E B — заштрихована область.
Приклад: А = {1,2}, B = {2,3},
A E B = {1,2,3}.

Перетин (добуток) множин.
А C В — заштрихована область.
Приклад: А = {1,2}, B = {2,3},
A C B = {2}.

Доповнення множини.
A (не А) — заштрихована область.
Приклад: U = {?, {1}, {2}, {1,2}}, A = {1,2}, A = {?, {1},{2}}.

Різниця множин.
А \ В — заштрихована область.
Приклад: A = {1,2}, B = {2,3},
A \ B = {1}.

Крім перерахованих операцій часто зустрічається поняття розбиття множини. Система множин {X1, X2, …, Xn} називається розбиттям множини М, якщо вона задовольняє такі умови:

  • будь-яка множина Хi є підмножиною М (Xi I M, i I I, I — деяка множина індексів);
  • будь-які дві множини Хі, Хj,j не перетинаються
    (Хi C Xj = ?);
  • об’єднання всіх множин, що входять у розбиття, дає множину М (E Хі = М);
  • для будь-якого і I І множина Хі є непорожньою (Хі ? ?,
    "і I І).

Отже, розбиття множини — це така система непорожніх та різ­них підмножин М, коли кожен елемент множини М одночасно є елементом одного і тільки одного елемента системи. Наприклад, {{1,2},{3},{4,5}} є розбиттям множини {1,2,3,4,5}.
Для зазначених операцій виконуються такі закони:


ідемпотентності
1. А E А = А
2. А C А = А
3. А E U = U
4. A C U = A
5. A E ?= A
6. A C ? = ?
комутативності
7. A E B = B E A
8. A C B = B C A
асоціативності
9. (A E B) E C = A E (B E
E C) = A E B E C
10. (A C B) C C = A C
C (B C C) = A C B C C

дистрибутивності
11. A C (B E C) = (A C B) E (A C C)
12. A E (B C C) = (A E B) C (A E C)
13. A = A     (А — подвійне
заперечення А)
14. A E A = U
15. A C A = ?
16. U = ?
17.  = U
18. A I B ~  I
закони де Моргана
19.  E  =
20.  C  =

Якщо в будь-якому з законів 1—20 взаємно замінити символи E та C; ? та U; E та I, то отримаємо інший закон. Ця властивість називається законом двоїстості.
Теорію множин можна побудувати формально, використовуючи аксіоматичний підхід. Перерахуємо основні аксіоми теорії множин:
Аксіома існування. Існує хоча б одна множина.
Аксіома об’ємності (екстенціональності). Якщо множини А та В складаються з тих самих елементів, тоді вони збігаються (рівні) А = В.
Аксіома об’єднання (пари). Для довільних множин А та В існує множина, елементами якої є всі елементи множини А та всі елементи множини В і яка ніяких інших елементів не містить.
Із аксіом об’ємності та об’єднання випливає, що множина, яка задовольняє умову об’єднання, єдина. Назвемо цю множину об’єд­нанням множин А та В. Це можна записати так: С = А E В.
Аксіома різниці. Для довільних множин А та В існує множина, елементами якої є ті, і лише ті елементи множини А, які не є елементами множини В.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2020 BPK Group.