лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Дискретний аналіз

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

Якщо f(a) > 0 та f(b) < 0, то нерухомим буде лівий кінець відрізка [a, b], тобто відрізок [а, x], а послідовні наближення знаходять за формулою:
                       (3)
Взагалі, нерухомий той кінець відрізка, для якого знак функції f(x) збігається зі знаком другої похідної функції f??(x); послідовні наближення хn лежать по ту сторону від кореня, де знак функції f(x)протилежний знакові її другої похідної.
Крім вищеописаних, часто використовуються ще такі методи: метод Ньютона, або метод дотичних, який подібний до методу хорд, але замість хорд використовуються дотичні до кривої y = f(x) у точках Bi (або Ai); комбінований метод, який поєднує в собі метод хорд та метод Ньютона; метод ітерацій, в якому рівняння (1) замінюється рівнянням х = j(х), х0 вибирається рівним деякому довільному значенню на інтервалі [a, b], а послідовність наближень будується за формулою хn = j(хn–1).
Методи для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Одне з найважливіших завдань обчислювальної математики — розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Лінійне програмування, балансовий розрахунок, кореляційний аналіз тісно пов’язані з розв’язанням СЛАР. Кількість невідомих n може сягати кількох десятків, сотень і навіть тисяч.
Розрізняють точні (прямі) та наближені методи розв’язання СЛАР. До точних належать: правило Крамера, метод Гаусса та його модифікація (метод Жордана—Гаусса), метод оберненої матриці; до наближених — метод ітерацій, метод Зейделя, метод релаксацій тощо.
Внаслідок неминучих округлень навіть точні методи дають наближені результати, причому оцінка похибок у загальному випадку надзвичайно складна. Крім того, якщо n досить велике, то розв’язання СЛАР точними методами пов’язане зі значними труд­нощами. Наприклад, щоб розв’язати систему з n рівнянь за правилом Крамера, необхідно виконати
N1 = (n2 – 1)n! + n
тільки операцій множення та ділення, а за схемою Гаусса
N2 = n(n2 + 3n – 1) : 3
множень та ділень. У зв’язку з цим часто вигідно застосовувати наближені методи розв’язання систем лінійних рівнянь.
Будемо вважати, що читач знайомий з основними поняттями та властивостями, пов’язаними з матрицями. Розглянемо перераховані вище методи детальніше.
Точні (прямі) методи розв’язання СЛАР
Нехай дано систему n лінійних рівнянь з n невідомими.
                      (4)
Позначимо матрицю з коефіцієнтів системи (4) через:
                                (5)
і відповідно стовпець вільних членів та стовпець невідомих (шуканий вектор) — через
 та
Тоді СЛАР (4) коротко можна записати у вигляді матричного рівняння:
Ax = B.(6)
Сукупність чисел х1, х2, ... хn, що перетворюють систему рівнянь (4) в тотожність, називається розв’язком цієї системи, а самі числа xi — її коренями.
Як уже зазначалося, з точних методів розв’язання СЛАР найпоширенішими є метод Гаусса та його модифікація (метод Жордана—Гаусса), правило Крамера, метод оберненої матриці.
Допустимо, що коефіцієнти aij системи (4) точні та система розв’язується методом Гаусса. Однак це не гарантує точність при округленні проміжних результатів. Якщо отримані значення коренів наближені, то їх можна уточнити.
Нехай для системи (6) знайдено наближений розв’язок Х0. Покладемо:
Х = Х0 + d.
Тоді для поправки  отримаємо рівняння А(Х0 + d) = В або
Аd = e,
де e = ВАХ0 — неув’язка для наближеного розв’язку Х0.
Отже, щоб знайти d, необхідно розв’язати лінійну систему з попередньою матрицею А та новим вільним членом e.
Ітераційні методи розв’язання СЛАР
Як було зауважено раніше, прямі методи при великій кількості змінних стають дуже складними. За цих умов для знаходження коренів системи рівнянь іноді зручніше користуватись наближеними чисельними методами. Розглянемо основні з них.
Метод простої ітерації. Нехай дана лінійна система (4), яку можна записати у вигляді матричного рівняння (6). Допускаючи, що діагональні елементи аii ? 0, i = 1, 2, … n, розв’яжемо перше рівняння — відносно х1, друге — відносно х2 і т. д. Тоді отримаємо таку еквівалентну систему:
               (7)
де bі = bi : aii; aij = –aij : aii, якщо i ? j та aij = 0, якщо i = j.
Позначимо матриці:
 та
і запишемо систему рівнянь (7) у матричній формі:
х = b + aх.                                         (8)
Систему (8) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення приймемо стовпець вільних членів х(0) = b. Далі визначимо перше наближення х(1) = b + aх(0), друге наближення х(2) = b + aх(1) і т.д. Будь-яке k-те наближення обчислюється за формулою:
х(k) = b + aх(k–1).                                    (9)
Якщо  то х є розв’язком системи (8).
Метод Зейделя є модифікацією методу ітерацій. Головна його ідея полягає в тому, що при обчисленні k-го наближення невідомої xi враховуються вже обчислені раніше k-ті наближення невідомих x1, x2, …, xi-1.
Обчислювальну схему метода Зейделя можна побудувати, виходячи з початкового наближення
Нехай (k – 1)-і наближення хi(k–1) відомі. Згідно з методом Зейделя будемо будувати k-те наближення коренів за такими формулами:

Як правило, метод Зейделя дає кращу збіжність, ніж метод простих ітерацій, але призводить до громіздкіших обчислень.
Інтерполяція та наближення функцій
Найпростіше завдання інтерполювання полягає в такому. На відрізку [a, b] задані n + 1 точки х0, х1, ..., хn, які називаються вузлами інтерполяції, та значення деякої функції f(x) в цих точках y0 = f(x0), y1 = f(x1), …, yn = f(xn). Необхідно побудувати функцію F(x) (інтерполюючи функцію f(x)), що належить певному класу та набуває у вузлах інтерполяції тих самих значень, що й f(x).
Геометрично це означає, що необхідно знайти криву F(x) певного типу, яка проходить через задану систему точок Mi(xi, yi), i = 1, 2, …, n.
У такій постановці задача може мати нескінченну множину розв’язків або не мати їх зовсім. Для уникнення цієї проблеми найчастіше замість довільної функції F(x) шукають поліном Рn(x) степеня, не вищого від n, який задовольняє умови y0 = Pn(x0),
y1 = Pn(x1), …, yn = Pn(xn).
Отриману інтерполяційну формулу, як правило, використовують для наближеного обчислення значень функції f(x) для значень аргументу x, які відрізняються від вузлів інтерполювання.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2020 BPK Group.