лучшие книги по экономике
Главная страница

Главная

Замовити роботу

Последние поступления

Форум

Создай свою тему

Карта сайта

Обратная связь

Статьи партнёров


Замовити роботу
Книги по
алфавиту

Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О

Математичне програмування

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]

1.2. НАЙПРОСТІША КЛАСИФІКАЦІЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
Будь-яка класифікація передбачає вибір критерію, згідно з яким вона здійснюється. Оскільки математичне програмування передусім є строгою математичною дисципліною, то критеріями класифікації мають бути в основному математичні структури (властивості) задач і методів їх розв’язування. Зауважимо, що одна й та сама задача з погляду різних математичних критеріїв може належати до кількох класів. Адже кожний критерій підкреслює лише одну властивість задачі на противагу деякій іншій, тобто поділяє всі задачі на два класи (чи підкласи всередині певного класу).
Задачі математичного програмування поділяються на два великі класи лінійні та нелінійні. Якщо цільова функція (1.2) та обмеження (1.3) є лінійними функціями, тобто вони містять змінні Хj у першому або нульовому степені. В усіх інших випадках задача буде нелінійною. Важливою перевагою лінійних задач є те, що для їх розв’язування розроблено універсальний метод, який називається симплексним методом. Теоретично кожну задачу лінійного програмування можна розв’язати. Для деяких класів лінійних задач, що мають особливу структуру, розробляють спеціальні методи розв’язування, які є ефективнішими. Наприклад, транспортну задачу можна розв’язати симплексним методом, але ефек­тивнішими є спеціальні методи, наприклад метод потенціалів.
Економічні та технологічні процеси, як правило, є нелінійними, стохастичними, розвиваються в умовах невизначеності. Лінійні економіко-математичні моделі часто є неадекватними, а тому доводиться будувати нелінійні та стохастичні моделі. Розв’язувати нелінійні задачі набагато складніше, ніж лінійні, оскільки немає універсального методу розв’язування таких задач. Для окремих типів нелінійних задач розроблено численні спеціальні ефективні методи розв’язу­вання. Проте слід зазначити, що на практиці застосовують, здебільшого, лінійні економіко-математичні моделі. Часто нелінійні залежності апроксимують (наближають) лінійними. Такий підхід на практиці є доволі ефективним.
У нелінійному програмуванні виокремлюють такі класи: опукле програмування. Для задач опуклого програмування існує низка добре обґрунтованих та ефективних методів їх розв’язування. Зазначимо, що задачі лінійного програмування є частковим випадком задач опуклого програмування.
Наголосимо, що коли область допустимих планів є опуклою мно­жиною, а цільова функція є опуклою функцією, то задача математич­ного програмування має глобальний, єдиний екстремум (якщо такий існує).
Множина S в n-мірному евклідовому просторі називається опуклою множиною, якщо для будь-яких точок (елементів) цієї множини  точки  належать множині S за всіх значень  які належать відрізку
Геометрично це означає, якщо  та  належать до множини S, то відрізок прямої, що з’єднує ці дві точки, також цілком належить до множини S.
Функція  визначена на опуклій множині лінійного простору (на опуклій множині S), називається опуклою, якщо виконується нерівність

для всіх  які належать відрізку
Квадратичне програмування — цільова функція квадратична, а обмеження лінійні.
Далі задачі математичного програмування поділяють на дискретні і неперервні. Дискретними називають задачі, в яких одна, кілька або всі змінні набувають лише дискретних значень. Окремий клас становлять задачі, в яких одна або кілька змінних набувають цілочислових значень, тобто задачі цілочислового програмування. Якщо всі змінні можуть набувати будь-якого значення в деяких інтервалах числової осі, то задача є неперервною.
Задачі математичного програмування поділяються також на детерміновані і стохастичні. Детерміновані задачі не містять випадкових змінних і параметрів, котрі набувають значень відповідно до функції розподілу. Наприклад, якщо в економіко-мате­матичній моделі врожайності сільськогосподарських культур задані своїми математичними сподіваннями, то така задача є де-
термінованою. Якщо врожайності задані функціями розподілу,
наприклад нормального з математичним сподіванням а і дисперсією ?, то така задача є стохастичною.
Якщо у відповідних економічних процесах випадкові явища не відіграють істотної ролі, то задачу можна розв’язувати як детерміновану. У противному разі адекватна економіко-матема­тична модель має бути стохастичною, тобто містити випадкові функції та величини. Структура та розв’язування таких задач вив­чаються в окремому розділі, який називається стохастичним програмуванням.
Економічні процеси розвиваються в часі, а тому відповідні моделі мають відображати динаміку. Це означає, що для знаходження оптимального плану потрібно застосовувати класи задач математичного програмування статичні (однокрокові) і динамічні (багатокрокові). Поняття динамічності зрозуміле, воно пов’язане з часом. Наприклад, якщо йдеться про план розвитку України до 2005 року, мають бути обґрунтовані значення відповідних макроекономічних показників не лише на 2005 рік, а й на всі проміжні роки, тобто враховано динаміку розвитку народногосподарських процесів. Такий план називають стратегічним.
У ньому має бути обґрунтована оптимальна (раціональна) траєкторія розвитку народного господарства. Проте під впливом некерованих чинників реальні показники щороку можуть відхиляти-
ся від планових. Тому постає потреба коригувати кожний річний план. Такі плани називають тактичними. Вони визначаються в результаті реалізації статичної економіко-математичної моделі.
Важливо чітко усвідомити відмінність між одно- та багатокроковими задачами. Багатокроковість як метод розв’язу­вання задач математичного програмування зумовлюється, насамперед, їх багатовимірністю. Сутність цього методу полягає в тому, що оптимальні значення розглядуваної множини змінних знаходять крок за кроком, послідовно застосовуючи індукцію, причому рішення, яке приймається на кожному кроці, має задовольняти умови оптимальності щодо рішення, прийнятого на попередньому кроці. Така процедура може бути і не бути пов’язаною з часом. Однокрокові задачі, навпаки, характеризуються  тим, що всі компоненти оптимального плану задачі визначаються одночасно на останній ітерації (кроці) алгоритму. Потрібно розрізняти ітераційність алгоритму і його багатокроковість. Наприклад, симплекс-метод розв’язування задач лінійного програмування є ітераційним, тобто якимось чином задаємо допустимий план і в результаті деякої кількості ітерацій дістаємо оптимальний план. Тут виконуються ітерації (кроки) алгоритму симплексного методу, але це не інтерпретується як багатокроковість економічного процесу (явища). Деякі задачі математичного програмування можна розглядати як одно- або багатокрокові залежно від способу їх розв’язування. Якщо задачу можна розв’язувати як однокрокову, то розв’язувати її як багатокрокову недоцільно, аби не застосовувати для знаход­ження оптимального плану складніших методів. Проте більшість економічних процесів є динамічними, їх параметри змінюються в часі й залежать від рішень керівництва, що їх доводиться приймати з метою досягнення розвитку економічної системи за траєкторією, яка визначається стратегічним планом.
Щойно було розглянуто лише найбільші класи задач математичного програмування, які визначені згідно з математичними критеріями. Можна також за різними ознаками виокремити й підкласи. Це особливо стосується задач лінійного, нелінійного і стохастичного програмування. Наприклад, як окремий клас розглядають дробово-лінійне програмування, коли обмеження є лінійними, а цільова функція — дробово-лінійна. Особливий клас становлять задачі теорії ігор, які широко застосовуються в ринковій економіці. Адже тут діють дві чи більше конфліктних сторін, які мають цілі, що не збігаються, або протилежні цілі. У сукупності задач теорії ігор, у свою чергу, також виокремлюють певні підкласи. Наприклад, ігри двох осіб із нульовою сумою.
Наведену класифікацію використано для структурування курсу «Математичне програмування».

1.3. ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ
«МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ»
Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування
математичного програмування в економіці.
Класифікація задач

Предмет, об’єкт, завдання та методологічні засади курсу.
Задачі економічного вибору. Сутність звичайної (однокритеріальної) оптимізації.
Економічна та математична постановка оптимізаційних задач.
Вибір критерію оптимізації, функціональних та  нефункціональних обмежень задачі.
Класифікація моделей і методів розв’язування задач математичного програмування.
Приклади економічних задач, які доцільно розв’язувати, застосовуючи методи та моделі математичного програмування.
Тема 2. Загальна задача лінійного програмування
та методи її розв’язування

Економічна та математична постановка задач лінійного програмування (ЛП). Використовувана система гіпотез.
Визначення множини допустимих планів задачі ЛП.
Геометрична інтерпретація множини допустимих розв’язків задач ЛП.
Цільова функція задачі ЛП.
Канонічна форма лінійної оптимізаційної моделі.
Оптимальний план задачі ЛП.
Симплексний метод.
Інші методи розв’язування задач ЛП.
Тема 3. Теорія двоїстості та двоїсті оцінки в аналізі
розв’язків лінійних оптимізаційних моделей

Основна та двоїста задачі як пара взаємоспряжених задач ЛП.
Двоїсті оцінки та дефіцитність ресурсів у околі оптимального плану задачі ЛП.
Стійкість оптимальних планів прямої та двоїстої задач.
Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.
Післяоптимізаційний аналіз задач ЛП.
Тема 4. Аналіз лінійних моделей економічних задач
Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей.
Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.
Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів. Аналіз коефіцієнтів цільової функції. Аналіз коефіцієнтів технологічної матриці для базисних і вільних змінних.
Приклади практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічних задач.
Тема 5. Транспортна задача (ТЗ).
Постановка, методи розв’язування та аналізу

Економічна і математична постановка транспортної задачі. Умови існування розв’язку ТЗ. Методи побудови опорного плану. Випадок виродження. Двоїста задача. Умова оптимальності. Методи розв’язування ТЗ. Транспортна задача за критерієм часу.
Двохетапна транспортна задача і методи її розв’язування.
Розв’язування ТЗ на сітці.
Тема 6. Цілочислові задачі лінійного програмування.
Деякі з основних методів їх розв’язування та аналізу

Область застосування цілочислових задач ЛП у плануванні й управлінні виробництвом. Математична постановка цілочислових задач лінійного програмування.
Геометрична інтерпретація розв’язків на площині. Методи роз­в’язування цілочислових задач ЛП.
Метод Гоморі. Метод віток і меж.
Тема 7.Задачі дробово-лінійного програмування.
Деякі основні методи розв’язування та аналізу

Економічна сутність, постановка та моделі основних типів задач дробово-лінійного програмування (ДЛП). Основні методи розв’язування задач ДЛП.
Аналіз оптимального плану задачі ДЛП.
Тема 8. Задачі нелінійного програмування,
деякі основні методи їх розв’язування та аналізу

Економічна сутність і постановка окремих типів задач нелінійного програмування (НЛП).
Класичний метод оптимізації задач НЛП на базі використання множників Лагранжа та їх економічна інтерпретація.
Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна—Таккера.
Деякі з основних методів розв’язування задач НЛП.
Методи аналізу оптимального плану задачі НЛП.
Задачі квадратичного програмування (КП) та основні методи їх розв’язування.
Економічна постановка та математичні моделі окремих задач КП. Основні методи розв’язування задач КП.
Метод кусково-лінійної оптимізації задачі КП.
Тема 9. Задачі динамічного програмування
Економічна сутність, деякі основні типи задач та моделі динамічного програмування (ДП).
Задачі про заміну основного капіталу підприємства.
Багатокроковий процес прийняття рішень та ДП.
Метод рекурентних співвідношень. Принцип оптимальності Беллмана.
Алгоритм Джонсона.
Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
Слабоструктуровані прикладні економічні задачі і прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику.
Загальна математична постановка задачі стохастичного програмування (СП). Класифікація задач СП. Творча складова та система гіпотез щодо формалізації задачі СП.
Деякі основні (прямі та непрямі) методи розв’язування задач СП.
Методи імітаційного моделювання щодо розв’язування задач СП.
Економічна сутність та основні типи одноетапних задач стохастичного програмування СП.
Математична постановка одноетапних статичних задач СП. Деякі основні методи розв’язування одноетапних статичних задач СП.
Стохастичні аналоги детермінованих моделей управління виробництвом.
Планування обсягу реалізації за невизначеного попиту.
Індикативне планування за невизначеності в ресурсах.
Аналіз розв’язку одноетапних статичних задач СП.
Двохетапні статичні задачі стохастичного програмування та деякі з основних методів їх розв’язування.
Сутність прикладних стохастичних двохетапних моделей. Прий­няття рішень в умовах невизначеності та ризику.
Адаптивність рішень в економіці.
Загальна постановка двохетапних статичних задач стохастичного програмування СП.
Лінійні задачі двохетапного СП та основні методи їх розв’язування.
Задачі управління виробництвом з урахуванням перевезень у сто­хастичній постановці (виробничо-транспортна задача двохетапного СП).
Нелінійні двохетапні статичні задачі СП та методи їх розв’язування.
Якісний аналіз двохетапних стохастичних економічних моделей.
Маргінальні властивості стохастичних двоїстих оцінок.
Тема 11. Елементи теорії ігор
Основні поняття теорії ігор. Матричні ігри двох осіб. Платіжна матриця. Гра в чистих стратегіях. Мінімаксні стратегії. Сідлова точка. Змішані стратегії.

  Основна теорема теорії ігор. Зведення задачі гри двох осіб до задачі лінійного програмування.

Страницы [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]


ВНИМАНИЕ! Содержимое сайта предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права принадлежат их законным правообладателям. Любое использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием содержимого сайта.
© 2007-2022 BPK Group.