Математичне програмування

6.2. ДРОБОВО-ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ
6.2.1. Постановка задачі
та алгоритм розв’язування
Розв’язуючи економічні задачі, часто за критерій оптимальності беруть показники рентабельності, продуктивності праці тощо, які математично подаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так:

за умов
,
.
Припускають, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю.
Алгоритм розв’язування задачі дробово-лінійного програмування передбачає зведення її до задачі лінійного програмування. Щоб виконати таке зведення, позначимо
,
зробимо заміну змінних
 .
і запишемо економіко-математичну модель:

за умов

,
 ,
.
Дістали задачу лінійного програмування, яку можна розв’язати симплексним методом. Нехай оптимальний план

Оптимальні значення x0j знайдемо за формулою
 .
6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці:

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі.
Записати економіко-математичну модель і знайти оптимальну структуру виробництва.
Розв’язання. Введемо позначення:
х1 — площа посіву озимої пшениці, га;
х2 — площа посіву цукрового буряка, га;
х3 — площа посіву кормових культур, га;
х4 — кількість корів продуктивністю 5000 кг;
х5 — кількість корів продуктивністю 4500 кг;
х6 — кількість корів продуктивністю 4000 кг;
х7 — кількість корів продуктивністю 3500 кг.
Запишемо критерій оптимальності:

за розглянутих далі умов.
1. Обмеження за ресурсами.

1. 1) Ріллі:
2. .
3. 2) Живої праці:
4. .
5. 3) Механізованої праці:
6. .
7. 2. Обмеження сівозміни.
8. 1) Посівна площа кормових має бути більша або дорівнювати площі під озимою пшеницею:
9. .

2) Посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:

1. .
2. 3. Структура корів за продуктивністю.
3. 1) Балансове рівняння щодо корів:
4. ,
5. де  — загальна кількість корів.
6. 2) Частка корів продуктивністю 5000 кг:
7. .
8. 3) Частка корів продуктивністю 4500 кг:
9. .
10. 4) Частка корів продуктивністю 4000 кг:
11. .
12. 5) Частка корів продуктивністю 3500 кг:
13. .
14. 4. Забезпеченість корів кормами:
15. .
16. Невід’ємність змінних:
17.  .
18. Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, зробимо відповідну заміну й скористаємося симплексним методом:
19. 
20. .
21. Отже, маємо таку лінійну економіко-математичну модель:
22. 
23. за розглянутих далі умов.
24. 1. ,
25. ,
26. .
27. 2. ,      або      ,
28. ,      або      .
29. 3. ,
30. ,
31. ,
32. ,
33. .
34. 4. .

5.  .

Розв’язати графічно задачу дробово-лінійного прог­рамування:

за умов

Розв’язання.Побудуємо на площині область допустимих роз­в’язків задачі — трикутник АВС.

Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів х1, х2 так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо х2 із цільової функції:
.
Кутовий коефіцієнт цільової функції
.
Розглянемо похідну
.
Оскільки при будь-якому значенні Z вона від’ємна, то функція RZ є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт RZ зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.
Знайдемо координати цих точок.
Точка А:
  
Звідси  
Точка А має координати (6/7; 24/7).
Точка С:
  
Звідси  
Точка С має координати (9/2; 1).
Знайдемо значення цільової функції в цих точках: